ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
35
Как следует из (5.3), )( pK – дробно-рациональная функция
переменной p, т.е. отношение двух полиномов целых степеней p.
В достаточно общем случае представления сигнала суммой секу-
лярных функций (см. формулу (4.16)) изображение сигнала также
представляется суммой ДРФ вида (4.21), что также дает результи-
рующую ДРФ изображения сигнала. Общность секулярного сиг-
нала понимается в том смысле, что все
другие рассмотренные вы-
ше сигналы (кроме
δ
(t)-функции) могут быть получены из (4.16),
полагая равными нулю параметры
н
k
ω
β
,, и
ψ
по отдельности
или совместно. То же касается их ИФ, которые также могут быть
получены из (4.21).
Тогда изображение отклика системы
)( py
, являющееся со-
гласно (5.3) произведением
)( pK и )( px , также будет ДРФ.
Для дробно-рациональной функции вычеты могут быть най-
дены применением формулы обращения, по которой осуществля-
ется переход из пространства изображений в пространство ориги-
налов. Получим эту формулу.
7.2. Формула обращения для изображения,
определяемого ДРФ
Будем рассматривать случаи ДРФ с простыми полюсами.
Запишем
)( py
в таком виде:
)(Q
)(
)(
p
pF
py
= . (7.4)
)( pF и )(Q p – полиномы целых степеней переменных p.
Корни полинома знаменателя
)(Q p , определяемые из соотноше-
ния
0)(Q =p
, являются полюсами ДРФ
)( py
. В соответствии с
оговоренным выше условием ради упрощения рассмотрения бу-
дем считать, что F(p) имеет полюсы 1-го порядка, т.е. простые
(некратные) полюсы. Тогда дробь
)( py
может быть представлена
суммой простых дробей:
∑
−
⋅
′
=
=
ν
ν
ν
ν
ppp
pF
py
pp
1
)(Q
)(
)(
, (7.5)
36
где (p)Q
′
– производная знаменателя по p ( )/Q)(Q( dpdp
=
′
;
ν
p –
корни знаменателя
)(Q p . Будем считать, что имеем r корней, т.е.
r,1=
ν
. Перейдем от (7.4) к оригиналу )(ty . Для этого учтем, что
p1 есть изображение единичного скачка. Тогда, принимая во
внимание теорему смещения (формула (3.7))
)()()()( te
tp
tfppfpf 1
ν
νν
±
←= ∓
,
имеем
)(1
1
)( te
pp
pf
tp
ν
ν
ν
←
−
=
. (7.6)
Формула разложения для
)( py
содержит сумму дробей вида
ν
pp −
1
с постоянными коэффициентами
ν
ν
pp
ppF
=
′
)(/)(Q
. Тогда,
в соответствии с теоремой об умножении функции на постоянную
величину, получим:
∑
=
=
′
=
r
tp
pp
te
p
pF
ty
1
)(1
)(
)(
)(
ν
ν
ν
ν
Q
. (7.7)
Эта формула, которую называют формулой обращения,
обеспечивает переход от изображения к оригиналу в важном слу-
чае простых полюсов изображающей функции K(p). Для ДРФ
)( py
, имеющей кратные полюсы, подход остается тем же, но
формулы получаются более сложными, а значит, и менее нагляд-
ными [3,5].
8. ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНОГО
ПРОЦЕССА ПО ФОРМУЛЕ ОБРАЩЕНИЯ
ДЛЯ ДРФ С ПРОСТЫМИ ПОЛЮСАМИ
Пример 1. Найти напряжение на параллельном контуре
)(tu
k
при включении на него источника тока )sin()(1)(
0
ψ
ω
+
=
ttAti
н
(рис. 8.1). Примем нулевые начальные условия.
Как следует из (5.3), K ( p) – дробно-рациональная функция где Q ′(p) – производная знаменателя по p ( (Q′( p ) = dQ / dp ) ; pν –
переменной p, т.е. отношение двух полиномов целых степеней p. корни знаменателя Q( p ) . Будем считать, что имеем r корней, т.е.
В достаточно общем случае представления сигнала суммой секу- ν = 1, r . Перейдем от (7.4) к оригиналу y (t ) . Для этого учтем, что
лярных функций (см. формулу (4.16)) изображение сигнала также
1 p есть изображение единичного скачка. Тогда, принимая во
представляется суммой ДРФ вида (4.21), что также дает результи-
рующую ДРФ изображения сигнала. Общность секулярного сиг- внимание теорему смещения (формула (3.7))
±p t
нала понимается в том смысле, что все другие рассмотренные вы- fν ( p) = f ( p ∓ pν ) ← f (t )e ν 1(t ) ,
ше сигналы (кроме δ(t)-функции) могут быть получены из (4.16),
имеем
полагая равными нулю параметры k , β , ω н и ψ по отдельности
1
или совместно. То же касается их ИФ, которые также могут быть fν ( p ) = ← e pν t 1( t ) . (7.6)
p − pν
получены из (4.21).
Тогда изображение отклика системы y ( p ) , являющееся со-
Формула разложения для y ( p ) содержит сумму дробей вида
гласно (5.3) произведением K ( p) и x ( p) , также будет ДРФ.
1
Для дробно-рациональной функции вычеты могут быть най- с постоянными коэффициентами F ( pν ) / Q ′( p ) p = pν . Тогда,
дены применением формулы обращения, по которой осуществля- p − pν
ется переход из пространства изображений в пространство ориги- в соответствии с теоремой об умножении функции на постоянную
налов. Получим эту формулу. величину, получим:
r F( p )
7.2. Формула обращения для изображения, y (t ) = ∑ Q ′( p) ν e pν t 1(t ) . (7.7)
ν =1 p = pν
определяемого ДРФ
Будем рассматривать случаи ДРФ с простыми полюсами. Эта формула, которую называют формулой обращения,
Запишем y ( p ) в таком виде: обеспечивает переход от изображения к оригиналу в важном слу-
F ( p) чае простых полюсов изображающей функции K(p). Для ДРФ
y ( p) = . (7.4) y ( p ) , имеющей кратные полюсы, подход остается тем же, но
Q( p )
формулы получаются более сложными, а значит, и менее нагляд-
F ( p) и Q( p ) – полиномы целых степеней переменных p.
ными [3,5].
Корни полинома знаменателя Q( p ) , определяемые из соотноше-
ния Q( p) = 0 , являются полюсами ДРФ y ( p ) . В соответствии с 8. ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНОГО
оговоренным выше условием ради упрощения рассмотрения бу- ПРОЦЕССА ПО ФОРМУЛЕ ОБРАЩЕНИЯ
дем считать, что F(p) имеет полюсы 1-го порядка, т.е. простые ДЛЯ ДРФ С ПРОСТЫМИ ПОЛЮСАМИ
(некратные) полюсы. Тогда дробь y ( p ) может быть представлена
суммой простых дробей: Пример 1. Найти напряжение на параллельном контуре
F(p ) 1 uk (t ) при включении на него источника тока i (t ) = A01(t ) sin(ω нt + ψ )
y( p) = ∑ Q ′( p ) pν= p ⋅
p − pν
, (7.5) (рис. 8.1). Примем нулевые начальные условия.
ν ν
35 36
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 16
- 17
- 18
- 19
- 20
- …
- следующая ›
- последняя »
