Применение метода, упрощающего обратное преобразование Лапласа при исследовании динамики колебательных систем. Золотарев И.Д. - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОмГУ | Омск

Составители: 

Рубрика: 

33
6.2. Переходная характеристика системы
Переходная характеристика (переходная функция) системы
– это отклик системы на единичный скачок. Будем обозначать пе-
реходную характеристику через
)(th
. Обращаясь к дифференци-
альному уравнению (1.7), имеем
∑
=
=
n
t
dt
hd
a
0
)(1
µ
µ
µ
µ
, (6.5)
()
p
phpa
dt
hd
aL
nn
1
00
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⇒
∑∑
==
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
, (6.6)
так как
p
tL
1
)}(1{ =
;
(
)
ph – изображение переходной характери-
стики. Здесь и дальше символ ⇒ означает «откуда следует».
Из формулы (6.6) получаем:
p
pK
p
pa
ph
n
)(11
)(
0
==
∑
=
µ
µ
µ
. (6.7)
Таким образом, между изображением переходной характе-
ристики
)( ph и передаточной характеристики системы )( pK
существует простая связь, определяемая соотношением (6.7). Пе-
репишем (6.7) в виде
∫
∞+
∞−
==
−
jc
jc
pt
dp
p
pK
j
phLth e
)(
)}({)(
π
2
1
1
, (6.8)
и, следовательно,
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
−
p
pK
Lth
)(
)(
1
. (6.9)
Поскольку переходная характеристика системы однозначно
связана с ее передаточной характеристикой, то она определяет как
и импульсная реакция поведение системы физическую систему во
временной области. То есть система определена: дифференциаль-
34
ным уравнением, или передаточной характеристикой, или импульс-
ной реакцией или переходной характеристикой (рис 6.1). Все эти
определения однозначно связаны между собой.
)(tx
)(ty
Система определяется:
или дифференциальным
уравнением или
)(),(),( tgthpK
Рис. 6.1
7. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО
УРАВНЕНИЯ
7.1. Применение операционного исчисления
для интегрирования линейных дифференциальных уравнений
Применяя обратное преобразование Лапласа к уравнению
(5.4), находим искомый интеграл дифференциального уравнения
исследуемой системы:
)}()({)}({)(
11
pxpKLpyLty
−−
==
, (7.1)
или
()
∫∫
∞+
∞−
∞+
∞−
==
jc
jc
pt
jc
jc
pt
dpepxpK
j
dpepy
j
ty )(
2
1
)(
2
1
)(
ππ
. (7.2)
Интеграл (7.2) равен сумме вычетов в полюсах подынте-
гральной функции:
∑
ν
ν
=
)p(res)t(y
, (7.3)
где
)(
ν
pres
– вычет в н -м полюсе подынтегральной функции;
r,1=
ν
; r – число всех полюсов изображающей функции; черта
означает целые значения на интервале 1…r. 
             6.2. Переходная характеристика системы                                ным уравнением, или передаточной характеристикой, или импульс-
                                                                                   ной реакцией или переходной характеристикой (рис 6.1). Все эти
      Переходная характеристика (переходная функция) системы                       определения однозначно связаны между собой.
– это отклик системы на единичный скачок. Будем обозначать пе-
реходную характеристику через h(t ) . Обращаясь к дифференци-                                                 Система определяется:
                                                                                                              или дифференциальным
альному уравнению (1.7), имеем
                                                                                                 x(t )            уравнением или                       y (t )
                                  n          d µh                                                                  K ( p ), h(t ), g (t )
                                 ∑     aµ             = 1(t ) ,            (6.5)
                                µ =0         dt µ

                                                                                                                          Рис. 6.1
                         ⎧⎪ n    d µ h ⎫⎪ ⎛⎜ n       ⎞        1
                     ⇒ L ⎨ ∑ aµ                a p µ ⎟h ( p) = ,
                                    µ ⎬ ⎜∑ µ
                                         =                                (6.6)
                          ⎪⎩µ =0 dt ⎪⎭ ⎝ µ =0        ⎟        p                          7. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО
                                                     ⎠
                                                                                                       УРАВНЕНИЯ
                     1
так как L{1(t )} =     ;     h ( p ) – изображение переходной характери-                   7.1. Применение операционного исчисления
                     p                                                             для интегрирования линейных дифференциальных уравнений
стики. Здесь и дальше символ ⇒ означает «откуда следует».
      Из формулы (6.6) получаем:                                                          Применяя обратное преобразование Лапласа к уравнению
                                             1
                                             1 K ( p)                              (5.4), находим искомый интеграл дифференциального уравнения
                           h ( p) =            =      .                    (6.7)
                                    n
                                           µ p   p                                 исследуемой системы:
                                    ∑ aµ p
                                      µ =0
     Таким образом, между изображением переходной характе-                                           y (t ) = L−1{ y ( p )} = L−1{K ( p ) x ( p )} ,            (7.1)
ристики h( p) и передаточной характеристики системы K ( p)
                                                                                   или
существует простая связь, определяемая соотношением (6.7). Пе-
                                                                                                     c + j∞                      c + j∞
репишем (6.7) в виде                                                                              1                        1
                                                                                         y(t ) =        ∫   y( p)e ptdp =        ∫   K ( p) x ( p)e ptdp .      (7.2)
                                                  1 c + j∞ K ( p) pt                             2πj c − j∞               2πj c − j∞
                     h(t ) = L−1{h ( p )} =             ∫        e dp ,   (6.8)
                                                 2πj c − j∞ p
и, следовательно,                                                                       Интеграл (7.2) равен сумме вычетов в полюсах подынте-
                                         ⎧ K ( p) ⎫                                гральной функции:
                             h(t ) = L−1 ⎨        ⎬.                       (6.9)
                                         ⎩ p ⎭                                                        y( t ) = ∑ res( pν ) ,             (7.3)
                                                                                                                      ν
      Поскольку переходная характеристика системы однозначно
                                                                                   где res ( pν ) – вычет в н -м полюсе подынтегральной функции;
связана с ее передаточной характеристикой, то она определяет как
и импульсная реакция поведение системы физическую систему во                       ν = 1, r ; r – число всех полюсов изображающей функции; черта
временной области. То есть система определена: дифференциаль-                      означает целые значения на интервале 1…r.


                                                 33                                                                         34

Страницы