ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
29
фициентами исходного дифференциального уравнения. Иными
словами, между K(p) и дифференциальным уравнением существу-
ет единственная связь. Откуда следует, что исследуемая физиче-
ская система может быть определена как через дифференциальное
уравнение, так и через передаточную функцию K(p). Схематиче-
ски связь между входным сигналом x(t) и откликом системы y(t)
через
переход в пространство изображений и обратно показана на
рис. 5.1.
)(tx
)(ty
)( px
)( py
↑
1−
L
)( pK
L
↓
Рис. 5.1
Таким образом, применение преобразование Лапласа к пра-
вой и левой части исходного дифференциального уравнения пере-
водит его в пространство изображений. Алгебраическое уравнение
(5.2) называется изображающим уравнением.
Полагая, что входной сигнал x(t) известен, правую часть
уравнения (1.7) можно представить как функцию F(t), которую
иногда называют вынуждающей функцией.
Тогда
)(
0
pF
dt
yd
L
n
=
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
∑
=
µ
µ
µ
, (5.5)
где
)( pF – изображение вынуждающей функции. Изображающее
уравнение можно теперь переписать в форме
(
)
).()(
0
pFpypa
n
=
∑
=
µ
µ
µ
(5.6)
30
Решая уравнение (5.1) относительно )( py , имеем
)(
1
)(
0
pF
pa
py
n
∑
=
=
µ
µ
µ
. (5.7)
Обозначим множитель при
)( pF через )(
1
pK
.
1
)(
0
1
∑
=
=
n
pa
pK
µ
µ
µ
(5.8)
Тогда (5.7) примет вид:
)()()(
1
pFpKpy =
. (5.9)
В важном случае, если на входе системы действует только
один сигнал x(t), а не сумма сигнала и его производных с весовы-
ми коэффициентами
λ
b , то, как следует из (1.7) и (5.2), полагаем
0
=
λ
b для всех m,1=
λ
. Не нарушая общности рассуждений, мо-
жем принять
1
0
=
b , и тогда )()( txtF
=
. При этом передаточная
функция (характеристика системы
)()(
1
pKpK
=
) и определяется
только левой частью дифференциального уравнения (1.7), кото-
рой соответствует формула (5.8). Будем рассматривать этот слу-
чай. Такой подход несколько упрощает нахождение результата, не
требует изменения методики нахождения решения при переходе к
более сложному возмущению
)(tF , содержащему производные
x(t). Действительно наличие производных x(t) влияет на структуру
числителя передаточной характеристики
)(
1
pK и не отражается на
ее полюсах. Трудоемкость же нахождения решения
)(ty и характер
поведения ее определяется полюсами ее изображения и, следова-
тельно, полюсами K(p) (а также полюсами
)( px , формула (5.3)).
Независимо от того, имеются ли начальные запасы энергии
или отсутствуют, применение прямого преобразования Лапласа к
правой и левой частям уравнения (1.7) позволяет алгебраизиро-
вать обыкновенное дифференциальное уравнение. При этом пра-
вая и левая части уравнения (1.7) представлены в пространстве
фициентами исходного дифференциального уравнения. Иными Решая уравнение (5.1) относительно y ( p ) , имеем
словами, между K(p) и дифференциальным уравнением существу- 1
ет единственная связь. Откуда следует, что исследуемая физиче- y ( p) = n F ( p) . (5.7)
µ
ская система может быть определена как через дифференциальное ∑ aµ p
уравнение, так и через передаточную функцию K(p). Схематиче- µ =0
ски связь между входным сигналом x(t) и откликом системы y(t)
через переход в пространство изображений и обратно показана на Обозначим множитель при F ( p ) через K1( p )
рис. 5.1. 1
K1 ( p ) = n . (5.8)
x(t ) y (t )
∑ aµ p µ
K ( p) µ =0
L ↓ ↑ L−1 Тогда (5.7) примет вид:
x ( p) y ( p) y ( p) = K1( p )F ( p ) . (5.9)
Рис. 5.1 В важном случае, если на входе системы действует только
один сигнал x(t), а не сумма сигнала и его производных с весовы-
Таким образом, применение преобразование Лапласа к пра- ми коэффициентами bλ , то, как следует из (1.7) и (5.2), полагаем
вой и левой части исходного дифференциального уравнения пере-
bλ = 0 для всех λ = 1, m . Не нарушая общности рассуждений, мо-
водит его в пространство изображений. Алгебраическое уравнение
(5.2) называется изображающим уравнением. жем принять b0 = 1 , и тогда F (t ) = x(t ) . При этом передаточная
Полагая, что входной сигнал x(t) известен, правую часть функция (характеристика системы K ( p ) = K1 ( p ) ) и определяется
уравнения (1.7) можно представить как функцию F(t), которую только левой частью дифференциального уравнения (1.7), кото-
иногда называют вынуждающей функцией. рой соответствует формула (5.8). Будем рассматривать этот слу-
Тогда чай. Такой подход несколько упрощает нахождение результата, не
⎧⎪ n d µ y ⎫⎪ требует изменения методики нахождения решения при переходе к
L⎨ ∑ µ ⎬ = F ( p) , (5.5) более сложному возмущению F (t ) , содержащему производные
⎪⎩µ = 0 dt ⎪⎭
x(t). Действительно наличие производных x(t) влияет на структуру
числителя передаточной характеристики K1( p ) и не отражается на
где F ( p ) – изображение вынуждающей функции. Изображающее ее полюсах. Трудоемкость же нахождения решения y (t ) и характер
уравнение можно теперь переписать в форме поведения ее определяется полюсами ее изображения и, следова-
∑ (aµ p µ ) y ( p) = F ( p).
n
(5.6) тельно, полюсами K(p) (а также полюсами x ( p ) , формула (5.3)).
µ =0 Независимо от того, имеются ли начальные запасы энергии
или отсутствуют, применение прямого преобразования Лапласа к
правой и левой частям уравнения (1.7) позволяет алгебраизиро-
вать обыкновенное дифференциальное уравнение. При этом пра-
вая и левая части уравнения (1.7) представлены в пространстве
29 30
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 13
- 14
- 15
- 16
- 17
- …
- следующая ›
- последняя »
