ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
25
изображение
δ
-функции (единичного импульса) 1)( =pf
δ
(фор-
мула (2.8)). Изображение единичного скачка представим, как в
формуле (2.9):
p
tLpf
1
)}(1{)( ==
.
Заметим, что можно осуществить переход от (2.8) к (2.9) на
основе теоремы об изображении интеграла функции времени,
учитывая интегральную связь между оригиналами в виде (2.5):
∫
∞−
=
t
dt
ξξδ
)()(1
.
Найдем функции
)(1)(1)(
0
1
ttddtf
tt
∫∫
∞−
−
===
ξξξ
,
)(1
2
)(1)()(
0
2
12
t
t
dddftf
ttt
∫∫∫∫
∞−∞−
−−
====
ξξξξξξ
,
)(1
322
)(1)()(
3
00
2
23
t
t
ddddftf
tttt
⋅
=====
∫∫∫∫∫∫∫
∞−∞−
−−
ξ
ξ
ξξξξξξ
,
)(1
!
)(1...)( t
n
t
dtf
t
n
n
∫∫ ∫
∞−
−
==
ξξ
. (4.17)
Следует иметь в виду, что решение интегралов в выражении
(4.17) будет справедливо для t > 0. Это следует из того, что в по-
дынтегральной функции имеем 1(t) = 0 при t < 0. Таким образом,
всюду в решениях (4.17) нужно вводить множитель 1(t), чтобы
показать, что решения справедливы для t > 0.
Например,
)(1)(
1
t
t
t
f
⋅
=
−
, )(1
!
)(...,),(1
2
)(
2
2
t
n
t
tft
t
tf
n
n
==
−−
.
Соответственно нижний предел определенных интегралов в (4.17)
может быть взят равным нулю. Исходя из очевидности присутст-
вия множителя 1(t), в соотношениях (4.17) его иногда опускают. В
26
дальнейшем не будем оговаривать усечение функции на отрица-
тельной полуоси времени, которое имеем, так как интеграл в пря-
мом преобразовании Лапласа односторонний.
Изображения для функции в (4.17) запишем исходя из тео-
ремы об изображении интеграла
2
12
1
1
p
)p(f)}t(f{L)t(t ==→⋅
−−
,
3
22
2
1
1
2
p
)p(f)}t(f{L)t(
t
==→
−−
,
…
1
1
)()}({)(1
!
+
−−
==→
n
nn
n
p
pftfLt
n
t
. (4.18)
Из (4.18)
получаем изображение для функции целых степеней (t),
усеченных во времени
,
1
)(1
p
t →
,
p
)t(t
2
1
1 →⋅
,
p
!
)t(t
3
2
2
1 →⋅
,
p
!
)t(t
4
3
3
1 →⋅
…
1
1
+
→⋅
n
n
p
!n
)t(t
. (4.19)
Теперь воспользуемся соответствующими теоремами для
того, чтобы от (4.19) перейти к искомому изображению для ори-
гинала (4.16). Для этого представим (4.16) в форме
[
]
)(1
2
)(
)()(
tee
At
tf
jtjjtj
k
нн
ψωβψωβ
−−++
+= . (4.20)
изображение δ-функции (единичного импульса) fδ ( p ) = 1 (фор- дальнейшем не будем оговаривать усечение функции на отрица-
мула (2.8)). Изображение единичного скачка представим, как в тельной полуоси времени, которое имеем, так как интеграл в пря-
формуле (2.9): мом преобразовании Лапласа односторонний.
1 Изображения для функции в (4.17) запишем исходя из тео-
f ( p ) = L{1(t )} = . ремы об изображении интеграла
p
1
Заметим, что можно осуществить переход от (2.8) к (2.9) на t ⋅1( t ) → L{ f −2 ( t )} = f −1( p ) = ,
p2
основе теоремы об изображении интеграла функции времени,
учитывая интегральную связь между оригиналами в виде (2.5): t2 1
1( t ) → L{ f −2 ( t )} = f −2 ( p ) = 3 ,
t 2 p
1(t ) = ∫ δ (ξ )dξ . …
−∞ n
Найдем функции t 1
1(t ) → L{ f − n (t )} = f − n ( p ) = n +1 . (4.18)
t t n! p
f −1 (t ) = ∫ 1(ξ )dξ = ∫ dξ = t1(t ) ,
−∞ 0 Из (4.18) получаем изображение для функции целых степеней (t),
t t t
t2 усеченных во времени
f − 2 (t ) = ∫ f −1 (ξ )dξ = ∫ ∫ 1(ξ )dξ = ∫ ξdξ = 1(t ) ,
2 1
−∞ −∞ 0 1(t ) → ,
t t t t p
ξ2 t3
f −3 ( t ) = ∫ f −2 (ξ )dξ = ∫ ∫ ∫1(ξ )dξ = ∫ ∫ ξdξ = ∫ 2
dξ =
2 ⋅3
1(t )
, t ⋅1( t ) →
1
,
−∞ −∞ 0 0 p2
2!
t
tn t 2 ⋅1( t ) → ,
f − n (t ) = ∫ ∫ ... ∫ 1(ξ )dξ = 1(t ) . (4.17) p3
−∞
n! 3!
t 3 ⋅1( t ) → ,
Следует иметь в виду, что решение интегралов в выражении p4
(4.17) будет справедливо для t > 0. Это следует из того, что в по- …
дынтегральной функции имеем 1(t) = 0 при t < 0. Таким образом, n!
всюду в решениях (4.17) нужно вводить множитель 1(t), чтобы t n ⋅1( t ) → . (4.19)
p n+1
показать, что решения справедливы для t > 0.
Например, Теперь воспользуемся соответствующими теоремами для
2 n того, чтобы от (4.19) перейти к искомому изображению для ори-
t t
f − 1 ( t ) = t ⋅ 1( t ) , f − 2 (t ) = 1(t ), ..., f − n (t ) = 1(t ) . гинала (4.16). Для этого представим (4.16) в форме
2 n!
Соответственно нижний предел определенных интегралов в (4.17) f (t ) =
2
e[
At k ( β + jω н )t + jψ
]
+ e( β − jω н )t − jψ 1(t ) . (4.20)
может быть взят равным нулю. Исходя из очевидности присутст-
вия множителя 1(t), в соотношениях (4.17) его иногда опускают. В
25 26
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
- …
- следующая ›
- последняя »
