Применение метода, упрощающего обратное преобразование Лапласа при исследовании динамики колебательных систем. Золотарев И.Д. - 19 стр.

       Решение. Воспользовавшись законом Ома в операторной                                Подставляя (8.2) и (8.3) в (8.1), получим
форме, получим                                                                                                     1 p sinψ + ω н cosψ     p + 2α
                                                                                                      uk ( p) = A0                     ⋅ 2             .                              (8.4)
                        u k ( p ) = K ui ( p )i ( p ) = z( p )i ( p ) ,           (8.1)                            C      p + ωн
                                                                                                                           2     2
                                                                                                                                        p + 2αp + ω 2p
где K ui ( p ) – передаточная характеристика данной схемы. На входе
                                                                                               Полюсы функции uk ( p ) ищем как корни знаменателя Q( p ) ,
действует ток, на выходе получаем напряжение, что соответствует
                                                                                          полагая Q( p ) = 0 .
                                                  размерности передаточной ха-
                                                  рактеристики [ K ui ( p )] = [В]/[А]                                 Q( p) = ( p 2 + ω н2 )( p 2 + 2αp + ω 2p ) = 0 .               (8.5)
                                                  = Ом, т.е. передаточная харак-          Отсюда p1,2 находим из условия ( p + ω н ) = 0 ; p3,4 находим, пола-
                                                                                                                                                  2   2

                                                  теристика имеет размерность
i (t )      L                                                                             гая
                                                  сопротивления: отсюда ввели
                                                   ui индекс для K ( p) . Таким                                                ( p 2 + 2αp + ω 2p ) = 0 .
                             C
                                     uk (t )      образом, K ui ( p ) = z( p ) , что в    Тогда полюсами изображающей функции uk ( p ) будут комплекс-
           R                                      данном случае видно из схемы            но-сопряженные пары
                                                  (рис. 8.1).                                                              p1, 2 = ± jω н , p3, 4 = −α ± jω 0,                        (8.6)
                                                           Найдем z ( p ) . Имеем в
                                                                                          где ω 0 – частота собственных колебаний.
                  Рис. 8.1                         контуре две параллельные вет-
                                                   ви: индуктивную с оператор-                                                     ω 0 = ω 2p − α 2 .                                 (8.7)
ным сопротивлением zL ( p ) = pL + r и емкостную zc ( p ) = 1 / pC .                      Производная знаменателя Q( p) выражения (8.4) по переменной p
Отсюда                                                                                    даёт
                                  1
                                    ( pL + r )                                                     Q′( p ) = 2 p( p 2 + 2αp + ω 2p ) + (2 p + 2α )( p 2 + ω н2 ) . (8.8)
                          z z    pC              1      p + 2α
                z( p ) = L c =                 =                    ,           (8.2)     Подставляя в (8.8) корни знаменателя, получим:
                        z L + zc pL + r + 1      C p 2 + 2α p + ω2p
                                          pC                                                Q′( p ) p = p1 = 2 jω н [( jω н ) 2 + 2αjω н + ω 2p ] = 2 jω н (ω 2p − ω н2 + 2αjω н ),
где α – коэффициент затухания контура, α = r / 2 L ; ω p – резо-                                Q′( p) p = p2 = −2 jω н [(− jω н ) 2 − 2αjω н + ω 2p ] = −2 jω н (ω 2p − ω н2 − 2αjω н ),
нансная частота колебаний, ω p = 1                LC . Нужно определить uk (t ) .               Q′( p ) p = p = [2(−α + jω 0 ) + 2α ][(−α + jω 0 ) 2 + ω н2 ] =
                                                                                                            3
Найдем изображающую функцию для включения радиоскачка то-                                       = 2 jω 0 (α 2 − ω 0 − 2αjω 0 + ω н2 ).
                                                                                                                   2

ка на колебательный контур:
                                                                                          Или, учитывая (8.7):
                            i ( p ) = L{ A01(t ) sin(ω нt + ψ )} .                          Q′( p ) p = p = 2 jω 0 [α 2 + α 2 − ω p − 2αjω 0 + ω н2 ] =
                                                                                                                                   2
                                                                                                            3
В соответствии с (4.9) и (4.10)                                                                 = 2 jω 0 [2α 2 − 2αjω 0 + (ω н2 − ω 2p )].
                                          p sinψ + ω н cosψ
                           i ( p ) = A0                        .                 (8.3)    Аналогично для полюса p4 :
                                              p 2 + ω н2
                                                                                                Q′( p ) p = p = −2 jω 0 [2α 2 + 2αjω 0 + (ω н2 − ω 2p )].
                                                                                                            4



                                            37                                                                                               38