Применение метода, упрощающего обратное преобразование Лапласа при исследовании динамики колебательных систем. Золотарев И.Д. - 21 стр.

        Воспользовавшись формулой обращения, имеем                                                   ляемый только схемой (системой). Для перевода (8.13) в про-
               2
                                                                                                     странство оригиналов воспользуемся формулой обращения (7.7).
                     F( p )                    ⎡A      A      ⎤                                      Тогда из (8.13) Q( p) = 1 + pτ , Q′( p ) = τ , F ( p) = 1 и, следовательно,
uвых (t ) =   ∑ Q′( p) ν       e pν t 1(t ) == ⎢ e0 t − e−t τ ⎥1(t ) = A(1 − e−t τ )1(t ) . (8.12)
              ν =1      p = pν                 ⎣1      1      ⎦                                                                                 1
                                                                                                                                     g (t ) =       e − t τ 1(t ) .                         (8.14)
      Найденный в (8.12) сигнал как реакция интегрирующей це-                                                                                   τ
пи на включение функции, пропорциональной единичному скачку,
пропорционален переходной функции интегрирующей цепи. Ко-                                                  Пример 4. Определить реакцию интегрирующей цепи на
эффициент пропорциональности A.                                                                      радиоскачок uвх (t ) = A sin(ω нt +ψ )1(t ) .
      Таким образом, uвых (t ) = A ⋅ h(t ) , где h(t) – переходная функ-                                   Решение. Изображающая функция для входного сигнала со-
ция интегрирующей цепи. Заметим, что первый член в (8.12) – вы-                                      гласно (4.10) имеет вид
чет в полюсе p1 = 0 , т.е. в полюсе, определяемом из ИФ возбуж-                                                     uвх ( p ) = A( p sinψ + ω н cosψ )( p 2 + ω н2 ) −1 .
дающего сигнала («вынужденный» полюс). Этот член определяет                                          Тогда, учитывая выражение (8.10) для передаточной характери-
ВСПП. Второй член в (8.12) – вычет в полюсе p2 = − 1 τ характе-                                      стики интегрирующей цепи, имеем ИФ для выходного сигнала в
ризует ССПП. Здесь p2 – «свободный» полюс, определяемый из                                           виде
                                                                                                                                   A p sinψ + ω н cosψ       1
передаточной характеристики (системной функции) K ( p) .                                                             uвых ( p ) =                                    ,    (8.15)
                                                                                                                                  τ        2
                                                                                                                                          p + ωн   2      p + 1 /τ
      Заметим, что цепь, показанная на рис.8.2, не является иде-
альным интегратором. При достаточно большой постоянной вре-                                          где «вынужденные» полюсы p1,2 = ± jω н , «свободный» полюс
мени τ , когда длительность процесса существенно меньше τ , на-                                       p3 = −1 τ ,
блюдается эффект интегрирования (накопления) за счет «памяти»                                                  F ( p) = А /τ ( p sinψ + ωн cosψ ), Q( p) = ( p2 + ωн2 )( p + 1/τ ),
ёмкости С. В соответствии с теоремой об изображении интеграла
функции времени передаточная характеристика идеального инте-                                                   Q′( p) = 2 p( p + 1/τ ) + ( p2 + ωн2 ) = 3 p2 + 2 p /τ + ωн2 ,
гратора имеет вид kинт.ид. ( p ) = 1 / p .                                                                     Q′( p) p = p = 2( jωн )2 + 2 jωн /τ = 2 jωн ( jωн + 1/τ ),
                                                                                                                           1
        Пример 3. Определить импульсную реакцию (импульсную                                                    Q′( p) p = p = 2( − jωн )2 − 2 jωн /τ = −2 jωн ( − jωн + 1/τ ),
                                                                                                                           2
характеристику) интегрирующей цепи.
        Решение. Импульсная характеристика – это реакция цепи на                                               Q′( p) p = p = 3( −1/τ )2 − 2 /τ 2 + ωн2 = ωн2 + 1/τ 2 .
                                                                                                                           3
δ -импульс. Изображение δ -импульса fδ ( p) = 1 (формула (2.8.)).                                    Тогда в соответствии с формулой обращения (7.7) получим выра-
Передаточная           характеристика                  интегрирующей  цепи                           жение для искомой реакции интегрирующей цепи на радиоскачок:
                   −1
K ( p ) = (1 + pτ ) определена в (8.10). Тогда для импульсной реак-
                                                                                                                   A ⎡ jω н sinψ + ω н cosψ               − jω н sinψ + ω н cosψ
ции интегрирующей цепи имеем ИФ.                                                                     uвых (t ) = ⎢                            exp jω нt +                            exp(− jω нt ) +
                                                                                                                   τ ⎣ 2 jω н ( jω н + 1/ τ )              − 2 jω н (− jω н + 1/ τ )
                      g ( p) = K ( p ) fδ ( p) = (1 + pτ ) −1 ,      (8.13)
                                                                                                       (−1/ τ ) sinψ + ω н cosψ               ⎤
полюс которой p1 = −1 τ . Как следует из (8.13), при нахождении                                      +                           exp(−t / τ ) ⎥1(t )
                                                                                                               ω н2 + 1/ τ 2                  ⎦
импульсной реакции имеем только «свободные» полюсы. Реакция
схемы, т.е. g (t ) представляет собой свободный процесс, опреде-

                                                41                                                                                                     42