Применение метода, упрощающего обратное преобразование Лапласа при исследовании динамики колебательных систем. Золотарев И.Д. - 4 стр.

                     1. ИСХОДНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ                                                             Здесь множитель 1(t − tν ) учитывает, что ν -я составляющая
                                                                                                  включается в момент (t − tν ) , т.е. он отсекает часть ν -й си-
                     1.1. Функция времени (сигнал)                                                нусоидальной компоненты при t < tν .
         Представим сигнал суммой моногармонических составляю-                                         Часто вводят более общую форму записи сигнала, учиты-
щих                                                                                               вающую экспоненциальную форму огибающих синусоидальных
                                            n                                                     компонент:
                              f (t ) =     ∑ Aν cos(ων t +ψν ) ,                          (1.1)                                    n
                                                                                                                                            βν t
                                           ν =1                                                                       f (t ) =     ∑ Aν e        cos(ων t +ψν )1(t − tν )   .   (1.4)
                                                                                                                                 ν =1
где ων – угловая частота ν -й составляющей, ψ ν – начальная фаза,
                                                                                                  Еще более общая форма записи сигнала
 Aν – амплитуда ν -й компоненты сигнала. Если частота ων кратна                                                                n
некоторой частоте ω1 , где ω1 – частота первой гармонической со-                                                   f (t ) =   ∑ Aν t kν e βν t cos(ων t +ψν )1(t − tν ) .       (1.5)
                                                                                                                              ν =1
ставляющей сигнала, то сигнал f (t ) является периодической
                                                                                                  В дальнейшем запись ν = 1, n означает, что ν принимает целочис-
                                                      2π 1
функцией времени с периодом T =                         = . В этом случае сумма                   ленные значения от 1 до n .
                                                      ω1 f1
                                                                                                         В формуле (1.5) считаем, что kν принимает целые значения,
(1.1) является рядом Фурье (р.Ф).
                                                                                                  при этом величина kν зависит от формы огибающей ν -й компо-
       В более общем случае каждая компонента сигнала включа-
ется в какой-то момент времени tν . Тогда (1.1) перепишем в фор-                                  ненты сигнала. Полагаем, что огибающая ν -й компоненты описы-
                                                                                                  вается в (1.5) множителем
ме
                                     n                                                                                      Aν e βν t t kν 1(t − tν ) .        (1.6)
                          f (t ) = ∑ Aν cos(ων t +ψν )1(t − tν ) ,                        (1.2)   Очевидно формулу (1.4) получаем из (1.5), полагая в последней
                                    ν =1
где 1(t − tν ) – единичный скачок, включаемый при t = tν , т.е.                                   kν =0 (независимо от номера ν ). Формула (1.2) получается из
                                                                                                  (1.4), если в последней положить βν = 0, независимо от номера ν .
                                        ⎧0, t < tν
                           1(t − tν ) = ⎨          .                                      (1.3)          Таким образом, формула (1.5) записи сигнала является наи-
                                        ⎩1, t > tι                                                более общей. Выражения (1.2) и (1.4) могут быть получены из
Это разрыв 1-го рода. Часто в точке разрыва tν функцию доопре-                                    (1.5) как частные случаи.
деляют как                                                                                               Члены суммы (1.5) иногда называют секулярными функ-
                                           f (tν − 0) + f (tν + 0)                                циями времени [9]. Заметим, что формула (1.5) представляет в
                            f (tν ) =                              ,
                                                      2                                           общем случае решение обыкновенного линейного дифференци-
где ±0 означает сколь угодно близко справа и слева от точки раз-                                  ального уравнения (ДУ).
рыва.
Следовательно, в данном случае для скачка в произвольной точке                                     1.2. Постановка задачи при исследовании линейных систем
t = tν
                                   1(t − tν − 0) t = tν + 1(t − tν + 0)t = tν                          При исследовании и разработке электронных систем встре-
                                                                                    1
              1(t − tν )t = tν =                                                =     .           чаются две основные задачи: задача синтеза и задача анализа. По-
                                                        2                           2             становку этих задач удобно рассматривать на основе рис. 1.1.

                                                  7                                                                                            8