Применение метода, упрощающего обратное преобразование Лапласа при исследовании динамики колебательных систем. Золотарев И.Д. - 24 стр.

Знаменатель ИФ    Q( p ) = ( p 2 + ω н2 )( p + 1 / τ ) ,                                                               L                       C                    r
а числитель       F ( p ) = A( p sinψ + ω н сosψ ) p .
Производная знаменателя
                                    1
                   Q′( p) = 2 p( p + ) + ( p 2 + ω н2 ) = 3 p 2 + 2 p /τ + ω н2 .                                                  i(t)
                                    τ
Так как знаменатель Q( p) , а следовательно, и полюсы ИФ выход-
                                                                                                                                                    e(t)
ного сигнала совпадают с примером 4, то совпадают и значения
Q′( p ) , вычисленные для соответствующих полюсов, а именно:
   Q′( p ) p = p = 2 jω н ( jω н + 1/τ ), Q′( p ) p = p = −2 jω н (− jω н + 1/τ ),
               1                                               2                                                                        Рис. 8.4
   Q′( p ) p = p = ω н2 + (1/τ ) 2 .
                3
     Тогда, воспользовавшись формулой обращения (7.7), полу-                                      Решение. Импульсную реакцию и переходную характери-
чаем аналогично решению примера 4 выражение для искомого                                     стику тока в последовательном колебательном контуре ищем как
сигнала на выходе схемы рис. 8.3:                                                            реакцию контура на включение источника э.д.с. в форме δ -им-
                             ⎡         jω н
                                                                                             пульса или единичного скачка. Исходя из закона Ома, в оператор-
                uвых (t ) = A⎢                     exp j (ω н t +ψ ) +                       ной форме запишем:
                             ⎢⎣ 2 j ( jω н + 1/τ )                                                                i ( p ) = e ( p ) / z k ( p ) = e ( p ) yk ( p ) , (8.27)
                                     − jω н
                         +
                             − 2 j ( − jω н + 1 / τ )
                                                       [                ]
                                                      exp − j (ω н t +ψ ) +         (8.25)   где     zk ( p ) = pL +
                                                                                                                        1
                                                                                                                          + r,        yk ( p ) = 1 / z k ( p ) .
                                                                                                                       pC
                             sinψ − ω нτ                   ⎤                                                                      1                      p
                         +               exp( −t /τ )      ⎥1(t ).                                 Тогда      i ( p) = e ( p)           = e ( p)                     ,                    (8.28)
                                    2
                              1+ ωн τ 2                    ⎦                                                                 pL +
                                                                                                                                   1
                                                                                                                                     +r          L( p + 2αp + ω 2p )
                                                                                                                                                     2

                                                                                                                                  pC
Или, подобно получению соотношения (8.16 а), имеем:                                          где коэффициент               затухания α = r / 2 L , резонанснаячастота
             ⎧1                             1                                                ω p = (LC) . Изображениями возбуждающих сигналов при нахож-
                                                                                                       −1/ 2

uвых (t ) = A⎨ K ( jω н ) exp j (ω нt +ψ ) − K (− jω н ) exp[− j (ω нt +ψ )] +
             ⎩ 2 j                          2 j                                              дении импульсной реакции и переходной характеристики соответ-
                                                                                    (8.26)   ственно будут eδ ( p) = 1 , eск( p) = 1/ p , подставляя которые в (8.28),
  sinψ − ω нτ cosψ                ⎫
+                  ⋅ exp(−t /τ ) ⎬1(t ),
       1 + ω нτ
             2 2
                                  ⎭                                                          получим ИФ для импульсной реакции gi (t ) и переходной характе-
                                                                                             ристики h i (t ) колебательного контура
где в соответствии с (8.18)
                                                               ± jω н                                 gi ( p) = p[L( p 2 + 2αp + ω 2p )] −1,       hi ( p) =[L( p2 + 2αp + ω 2p )] −1 .   (8.29)
                        K (± jω н ) = K ( p ) p = ± jω =                   .
                                                            ± jω н + 1 / τ
       Пример 7. Найти импульсную реакцию и переходную ха-                                           Полюсами обоих ИФ будут p1, 2 = −α ± jω 0 , ω0 – частота соб-
рактеристику для тока в последовательном колебательном контуре
                                                                                             ственных колебаний ω 0 = (ω 2р − α 2 )1/ 2 . Тогда p1, 2 являются полюса-
(рис. 8.4).

                                                47                                                                                             48