ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
49
ми системной функции )( py
k
и поэтому определяют свободные
колебания системы.
Знаменатели
)Q( p изображающих функций в (8.29) одина-
ковы:
)()(
22
2Q
р
ppLp
ωα
++=
.
Производная
)()(
α
+
=
′
pLp 2Q
. Тогда
,)()( LjjLp
pp 00
1
22Q
ω
α
ω
α
=++−
=
′
=
.)( Ljp
pp 0
2
2Q
ω
−=
′
=
Подставляя найденные соотношения в формулу обращения (7.7) и
учитывая (8.29), получим искомые выражения для импульсной
реакции и переходной характеристики последовательного колеба-
тельного контура:
(
)
(
)
[]
()
),( cossin
)(Q
)(
)(
)()(
ttt
L
j
Lj
Lj
j
Lj
j
p
pF
tg
t
tjtjtjtj
t
tjtj
i
tp
i
i
i
e
eeee
e
eee
i
1
2
22
000
0
00
0
00
0
0
0
0
0
0
0
2
1
ωωωα
ω
ωα
ω
ω
ωα
ω
ωα
α
ωωωω
α
ωαωα
+−=
=++−−=
=
−
−−
+
+−
=
′
=
−
−−
−
−−+−
=
∑
(8.30)
.)1( sin)(
)()(
tt
LLjLj
th
t
tjtj
e
ee
i 0
0
0
0
0
0
2
1
2
1
ω
ωωω
α
ωαωα
−
−−+−
=
−
+=
(8.31)
Из полученных соотношений (8.30) и (8.31) следует, что
dt
tdh
tg
i
i
)(
)( =
, т.е. между импульсной реакцией и переходной ха-
рактеристикой имеем ту же связь, что и между возбуждающими
сигналами, так как
dt
td
t
)(1
)( =
δ
. Это находит свое отражение в изо-
бражениях этих функций тем, что они отличаются множителем
{}
{
} {}
{
}
.)()()(,)( tLtpLptLtL
δ
δ
=
⇒=
=
1111
50
Умножение на p в пространстве изображений означает нахожде-
ние производной в пространстве оригиналов.
Пример 8. Найти импульсную реакцию и переходную ха-
рактеристику для напряжения на параллельном контуре при его
возбуждении источником тока (рис. 8.1).
Решение. Импульсную реакцию и переходную характери-
стику для напряжения на параллельном колебательном контуре
ищем как реакцию на включение источника тока в форме
δ
-им-
пульса или одиночного скачка соответственно.
Согласно закону Ома в операторной форме запишем
)()()( pzpipu
кк
= , (8.32)
где операторное сопротивление контура
)( pz
к
определяется со-
отношением (8.2); изображения сигналов
1=)( pi
δ
, ./)( ppi
ск
1= .
Тогда в соответствии с (8.32) ИФ для импульсной реакции и
переходной характеристики параллельного колебательного конту-
ра запишем в следующем виде:
,
)(
)(
2
0
222
21
2
21
ωα
α
ωα
α
++
+
=
++
+
=
p
p
C
pp
p
C
pg
p
и
(8.33)
.
)(
)(
2
0
222
21
2
21
ωα
α
ωα
α
++
+
=
++
+
=
p
p
pC
pp
p
pC
ph
p
и
(8.34)
Для ИФ
)( pg
u
имеем полюсы
021
ω
α
jp
±
−
=
,
, для ИФ
)( ph
u
полю-
сы
021
ω
α
jp
±
−
=
,
и 0
3
=
p . Для ИФ, определяемых формулами
(8.33) и (8.34), примем функцию
C
p
pF
α
2+
=)(
, в )(g p
u
знамена-
тель
22
2
р
ppp
ωα
δ
++=)(Q , в )( ph
u
знаменатель
)()(
22
2Q
pск
pppp
ωα
++= , которые совпадают с соответствующими
функциями предыдущего примера. Тогда
22
43Q2Q
pск
ppppp
ωαα
δ
++=
′
+=
′
)( ),()(
,
что дает
0
2
0
1
2Q2Q
ω
ω
δδ
jpjp
pppp
−
=
′
=
′
==
)( ,)(
.
Аналогично
.)(
),()(),()(
2
3
00
2
00
1
Q
2Q2Q
pppск
ppскppск
p
jjpjjp
ω
ωαωωαω
=
′
−−−=
′
+−=
′
=
==
ми системной функции yk ( p ) и поэтому определяют свободные Умножение на p в пространстве изображений означает нахожде-
колебания системы. ние производной в пространстве оригиналов.
Знаменатели Q( p) изображающих функций в (8.29) одина- Пример 8. Найти импульсную реакцию и переходную ха-
ковы: рактеристику для напряжения на параллельном контуре при его
возбуждении источником тока (рис. 8.1).
Q( p) = L( p 2 + 2αp + ω 2р ) .
Решение. Импульсную реакцию и переходную характери-
Производная Q′( p) = 2 L( p + α ) . Тогда стику для напряжения на параллельном колебательном контуре
Q′( p) p= p1 = 2 L(−α + jω0 + α ) = 2 jω 0 L, ищем как реакцию на включение источника тока в форме δ -им-
пульса или одиночного скачка соответственно.
Q′( p) p= p 2 = −2 jω 0 L.
Согласно закону Ома в операторной форме запишем
uк ( p ) = i ( p ) z к ( p ) , (8.32)
Подставляя найденные соотношения в формулу обращения (7.7) и
учитывая (8.29), получим искомые выражения для импульсной где операторное сопротивление контура z к ( p ) определяется со-
реакции и переходной характеристики последовательного колеба- отношением (8.2); изображения сигналов iδ ( p) = 1 , iск ( p ) = 1/ p. .
тельного контура: Тогда в соответствии с (8.32) ИФ для импульсной реакции и
i e pi t = −α + jω0 e(−α + jω0 )t + −α − jω0 e(−α − jω0 )t =
2 F( p )
gi (t) = ∑ переходной характеристики параллельного колебательного конту-
i=1 Q′( pi
) 2 jω0 L − 2 jω0 L ра запишем в следующем виде:
1 p + 2α 1 p + 2α
=
e−α t
2 jω L0
[−α(e jω0t
−e
− jω0t
)+ jω (e
0
jω0t − jω0t
+e )]= (8.30)
gи ( p) = =
C p + 2αp + ω p C ( p + α ) 2 + ω 02
2 2
, (8.33)
1 p + 2α 1 p + 2α
e −α t hи ( p) = = . (8.34)
= (−α sinω0t +ω0 cosω0t )1(t), pC p2 + 2αp + ω 2p pC ( p +α )2 + ω02
ω0 L
Для ИФ g u ( p ) имеем полюсы p1, 2 = −α ± jω 0 , для ИФ hu ( p ) полю-
сы p1, 2 = −α ± jω 0 и p3 = 0 . Для ИФ, определяемых формулами
1 1 e −α t
hi (t ) = e( −α + jω 0 )t + e( −α − jω 0 )t = sin ω 0t 1(t ). p + 2α
2 jω 0 L − 2 jω 0 L ω0 L (8.33) и (8.34), примем функцию F ( p) = , в gu ( p ) знамена-
C
(8.31)
тель Qδ ( p ) = p 2 + 2αp + ω 2р , в hu ( p ) знаменатель
Из полученных соотношений (8.30) и (8.31) следует, что
dhi (t ) Q ск ( p ) = p ( p 2 + 2α p + ω 2p ) , которые совпадают с соответствующими
g i (t ) = , т.е. между импульсной реакцией и переходной ха-
dt функциями предыдущего примера. Тогда
рактеристикой имеем ту же связь, что и между возбуждающими Q′δ ( p ) = 2( p + α ), Q′ск ( p ) = 3 p 2 + 4αp + ω 2p ,
d1(t)
сигналами, так как δ (t) = . Это находит свое отражение в изо- что дает Q′δ ( p ) p = p = 2 jω 0 , Q′δ ( p ) p = p = −2 jω 0 .
dt 1 2
бражениях этих функций тем, что они отличаются множителем Аналогично
L{δ (t )} = 1, L{1(t )} = 1 p ⇒ pL{1(t )} = L{δ (t )}. Q′ск ( p) p = p1 = 2 jω 0 (−α + jω 0 ), Q′ск ( p) p = p 2 = −2 jω 0 (−α − jω 0 ),
Q′ск ( p) p = p 3 = ω 2p .
49 50
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 23
- 24
- 25
- 26
- 27
- …
- следующая ›
- последняя »
