Применение метода, упрощающего обратное преобразование Лапласа при исследовании динамики колебательных систем. Золотарев И.Д. - 27 стр.

      Ряд Фурье (9.5) можно представить в более компактной по-                                                         2π
                                                                                                  Обозначим частоту       = ω1 , где ω1 – частота первой гармо-
казательной форме                                                                                                      T
                                       ∞                2π ⋅k                               нической составляющей. Её период совпадает с периодом повто-
                                                    j         ⋅t
                        f (t ) =      ∑      Ck e        T         ,                (9.8)
                                                                                            рения T исходной функции. Тогда частота kω1 =
                                                                                                                                          2π k
                                                                                                                                               = ωk , где ω k –
                                     k = −∞
                                                                                                                                                        T
которая получена применением к ряду (9.5) представления коси-                               частота k-й гармонической составляющей сигнала. Запись сигнала
нусоидальной функции по формуле Эйлера, согласно которой ка-                                в одной из форм ряда Фурье иногда называют спектральным
ждый член суммы расписывается в виде                                                        представлением сигнала.
                                            ⎡ j ⎛⎜ 2πk −ϕ ⎞⎟ − j ⎛⎜ 2πk −ϕ ⎞⎟ ⎤
                ⎛ 2πk     ⎞ c               ⎢ ⎜⎝ T       k⎟       ⎜       k ⎟⎥
          ck cos⎜     −ϕk ⎟ = k             ⎢e
                                                           ⎠
                                                             +e ⎝ T         ⎠
                                                                              ⎥=             ak                                    bk
                ⎝ T       ⎠ 2               ⎢⎣                                ⎥⎦
                                     2πk                        2πk
                                 j
                                      T
                                         t                 −j
                                                                 T ,
                                                                    ⋅t                      с0
                        = Ck e               + C− k e                               (9.9)                                ω                                   3ω1   ω
где Ck и C− k – комплексные амплитуды колебаний                                              0         ω1    2ω1 3ω1                0        ω1        2ω1
                      c                                 c
                  Ck = k e − jϕ k ,               C− k = k e jϕ k .                (9.10)
                       2                                 2                                                                   Рис. 9.1
Отсюда следует                                                                                                                     ϕk
                                                                                            ck
                                                 Ck = C−* k ,                      (9.11)                                          π
где знак (*) означает комплексно сопряженную величину.                                                  ω1                                        ω1
       Из (9.7) и (9.10)                                                                    с0    ω1          ω1                        ω1               ω1
                     c                          a     b                                                                  ω                                         ω
                 Ck = k (cos ϕ k − j sin ϕ k ) = k − j k .                         (9.12)    0                                      0
                      2                          2     2
Подставляя в (9.12) формулы (9.4), получим выражение для ком-
плексной амплитуды Ck , определенной через исходный сигнал:                                                                        −π
                   T                                                     T
                                 2πk
               1 2        −j         ⋅t                         1 2                                                          Рис. 9.2
           Ck = ∫ f (t )e         T
                                          dt ,    C k = 0 = c0 = ∫ f (t )dt .      (9.13)
               T −T                                             T −T                              Спектральное представление сигнала можно наглядно пока-
                    2                                                    2
                                                                                            зать на графиках зависимости амплитуд ak , bk и c0 (рис. 9.1) для
      Комплексные амплитуды Ck единственным образом связа-
                                                                                            ряда Фурье в форме (9.2) или зависимости амплитуд ck и началь-
ны с формой сигнала f (t ) . Иными словами, каждому сигналу
                                                                                            ных фаз составляющих (рис. 9.2) для ряда Фурье в форме (9.5).
присущ свой спектр, т.е. каждая функция f (t ) может быть пред-                                   Такой дискретный спектр, для которого расстояние между
ставлена только своим рядом Фурье (теорема о единственности                                 смежными составляющими спектра равно частоте повторения
представления рядом Фурье).                                                                 (частоте 1-й гармоники), называется гармоническим, а его состав-
                                                                                            ляющие гармоническими составляющими. Амплитуды отдельных

                                                 53                                                                           54