Применение метода, упрощающего обратное преобразование Лапласа при исследовании динамики колебательных систем. Золотарев И.Д. - 29 стр.

                               ∞    1 ⎛⎜
                                         T /2                   ⎞                          Выражение (9.15) называется двойным интегралом Фурье. Внут-
                  f (t ) =     ∑          ∫  f (t )e − jkω1t dt ⎟ e jkω1t .       (9.14)   ренний интеграл зависит от текущего значения частоты ω . Обо-
                                       ⎜
                             k = −∞ T ⎝ −T / 2
                                                                ⎟
                                                                ⎠                          значим его комплексной функцией частоты ω :
Применим не совсем строгое, но наглядное доказательство пере-                                                                       ∞

                                                                                                                                    ∫ f (t )e
хода от спектра периодического к спектру непериодического сиг-                                                                                   − jω t
                                                                                                                       S (ω ) =                           dt .           (9.16)
нала. Закрепив один из периодических сигналов на оси времени,                                                                       −∞
устремим период T к бесконечности ( T → ∞ ) (рис. 9.3а, б).                                Подставляя (9.16) в (9.15), запишем:
                                                                                                                                    ∞
                                                                                                                                1
                                                                                                                                    ∫ S (ω )e
                                                                                                                                                  jω t
      f(t)                                                       f(t)                                               f (t ) =                              dω .           (9.17)
                                                                                                                               2π
                                                                                                                                    −∞
                                                                                                Функция S (ω ) называется спектральной плотностью (спек-
                                                                                           тральной функцией). Иногда ради сокращения формулировок её
                                              t                          T →∞     t
     Т       Т                                                                             называют просто спектром.
                                                                                                Интеграл (9.16) называют прямым преобразованием Фурье
                                                                 T → −∞                    (ППФ). Символически ППФ обозначим оператором F .
                                                                                                                                    ∞
         а                                                                    б
                                                                                                                                     ∫ f (t )e
                                                                                                                                                 − jω t
                                                                                                           S (ω ) = F { f (t )} =                         dt .           (9.18)
                                       Рис. 9.3
                                                                                                                                    −∞
                                                                                                Спектральная плотность S (ω ) существует, если имеется аб-
     Тогда из периодической последовательности остается один
                                                                                                                                        ∞
                       2π
импульс. При этом ω1 =       → dω . Следовательно, расстояние
                                   T
                                                                                           солютная сходимость интеграла                ∫   f (t ) dt , т.е. если этот интеграл
                                       T →∞                                                                                          −∞
между составляющими спектра при T → ∞ стремится к dω , т.е. к                              имеет конечное значение.
бесконечно малой величине. Кроме того, kω1  → ω . Таким об-                                      Интеграл (9.17) называют обратным преобразованием Фу-
                                                                   T →∞
разом, kω1 принимает уже не дискретные значения частоты, крат-                             рье (ОПФ). Обозначают его оператором F −1 . Тогда
                                                                                                                                            ∞
ные частоте 1-й гармоники, а все значения ω на оси частот. Полу-                                                                      1
                                                                                                                                            ∫ S (ω )e
                                                                                                                                                           jω t
                                                                                                          f (t ) = F −1{S (ω )} =                                 dω .   (9.19)
чаем сплошной, а не линейчатый спектр. Далее, множитель 1 T в                                                                        2π
                                                                                                                                            −∞
(9.14) умножим и разделим на 2π . Тогда                                                    Интегралы (9.16) и (9.17) называют интегральными преобразова-
                        1 2π       1                                                       ниями Фурье.
                          =      =   dω .
                        T 2πT 2π
Следовательно, при T → ∞ (9.14) можем переписать в виде
                                   ∞   ∞
                              1
                                   ( f (t )e − jω t dt )e jω t dω .
                             2π −∫∞ −∫∞
                 f (t ) =                                                         (9.15)




                                              57                                                                                    58