Применение метода, упрощающего обратное преобразование Лапласа при исследовании динамики колебательных систем. Золотарев И.Д. - 28 стр.

гармонических составляющих могут быть равны нулю. Разложе-          зации таких схем используется следующий подход. Заданный сиг-
ние в ряд возможно, если могут быть найдены амплитуды ak , bk       нал периодически продолжают с выбранным периодом повторе-
и c0 (формулы (9.3) и (9.4)) или комплексные амплитуды Ck           ния на всей оси времени. Для такого периодизированного гипоте-
                                                                    тического сигнала находят ck и ϕ k , тем самым определяют его
(формула (9.13)). Для этого исходная функция должна удовлетво-
рять условиям Дирихле: функция f (t ) ограничена, кусочно-          гармонические составляющие. Тогда для получения заданного сиг-
                                                                    нала составляющие его суммируются на интервале существования
непрерывная и имеет на периоде конечное число экстремальных
                                                                    сигнала. Это достигается срезанием непрерывных составляющих,
значений.
                                                                    представляющих ряд Фурье, справа и слева относительно выбран-
       Физический смысл ряда Фурье хорошо просматривается и
                                                                    ного временного интервала суммирования. При таком моделирова-
имеет практическое приложение. Так можно физически собрать
                                                                    нии сигнала используется замечательное свойство ряда Фурье – бы-
периодический сигнал, если суммировать отдельные компоненты
                                                                    страя сходимость к исходному сигналу, что позволяет ограничи-
спектра, складывая, например, сигналы с генераторов синусои-
                                                                    ваться минимальным числом членов суммы, необходимым для
дальных колебаний заданных частот (частоты 1ой и более высоких
                                                                    обеспечения требуемой точности описания заданного сигнала.
гармонических составляющих). При этом для каждой гармониче-
ской составляющей ряда Фурье в виде (9.5) необходимо выста-
                                                                              9.2. Интегральные преобразования Фурье
вить, чтобы «собрать» заданное колебание, определенную ампли-
туду – ck и начальную фазу – ϕ k , соответствующую формулам                Любой реальный физический процесс ограничен во време-
(9.6), где ck и ϕ k находятся через ak и bk , определяющие ампли-   ни, т.е. когда-то начавшись, он неизбежно, когда-то закончится.
туды косинусоидальных и синусоидальных составляющих ряда            Очевидно, рассматривая реальный электрический сигнал как не-
Фурье в форме (9.2).                                                который физический процесс, можно утверждать, что на оси вре-
       На практике удобнее для нахождения ck и ϕ k пользоваться     мени он всегда имеет начало и конец. Это значит, что рассмотрен-
                                                                    ный выше периодический сигнал, который в частотной области
значениями комплексных амплитуд Ck , определяемых интегра-          представлен рядом Фурье (т.е. дискретным спектром в форме
лом (9.13). Тогда из (9.10) имеем                                   суммы гармонических составляющих), являлся полезной абстрак-
                     ck k ≠ 0 = 2 Ck , ϕ k = − arg Ck ,             цией, так как, строго говоря, физически периодического сигнала,
                                                                    повторяющегося с периодом T на всей оси времени вплоть до
где заключение комплексной величины в черточки означает, что
                                                                    t → ±∞ , быть не может. То же касается гармонических состав-
берется модуль её, т.е. то же, что и отсутствие точки над ком-
плексной величиной. В данном учебном пособии применяются            ляющих спектра, которые с определённой амплитудой должны
                                                                    продолжаться во времени в t → ±∞ и поэтому физически реализо-
оба обозначения модуля, т.е. Ck = Ck .                              ваны быть не могут. Отметим, что сигналы, существующие на не-
      Системы, в которых используется сумма «гармонических»         котором ограниченном интервале времени, на котором они опре-
составляющих для получения сигнала требуемой формы, созданы         делены, называют финитными сигналами.
на практике. Здесь имеется в виду, что для каждой «гармониче-              Попробуем воспользоваться рядом Фурье и для случая не-
ской» составляющей выставляется соответствующая амплитуда           периодического, одноразового сигнала. Для этого перепишем ряд
ck и начальная фаза колебания ϕ k . Однако эти составляющие         (9.8), подставив в него формулу (9.13) для Ck . Получим:
срезаны во времени вне выбранного интервала времени, охваты-
вающего время существования заданного сигнала. В основе реали-

                               55                                                                  56