ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
59
9.3. Сопоставление комплексной амплитуды
и спектральной плотности, а также ряда и интеграла Фурье
Сравним формулы (9.13) и (9.16) для комплексной амплиту-
ды
k
C
и спектральной плотности
)(
ω
S
. Для этого снова перепи-
шем эти формулы:
.
2/
2/
1
)(
1
∫
−
−
=
T
T
tjk
k
dtetf
T
C
ω
,
∫
=
∞
∞−
−
dtetfS
tj
ω
ω
)()(
.
Заметим, что
k
C
рассчитывается для частоты
1
ω
ω
k
k
=
, т.е.
можем записать
∫
−
==
2/
2/
)(
1
)(
T
T
t
k
j
kk
dtetf
T
CC
ω
ω
. Далее, если вычис-
ляется
)(
k
C
ω
и )(
k
S
ω
для сигнала одной и той же формы, то зна-
чение интеграла с пределами
±∞
для
)(
k
S
ω
и с пределами 2/T
±
для
)(
k
C
ω
будет одним и тем же, поскольку подынтегральные
функции одинаковы. Значит, можем писать из сопоставления
(9.13) и (9.16):
)(
1
)(
kk
S
T
C
ωω
= , (9.20)
или, если не привязываться к конкретной частоте:
)(
1
)(
ωω
S
T
C
= . (9.21)
Спектральная плотность
)(
ω
S
зависит только от вида функ-
ции f(t), а комплексная амплитуда
)(
ω
C
зависит и от периода по-
вторения. С ростом периода Т величина
)(
ω
C
уменьшается. В таб-
лицах обычно приводится спектральная плотность
)(
ω
S
. Для на-
хождения
)(
ω
C
следует для данного периода повторения разде-
лить
)(
ω
S
на величину периода Т. Удобство функции
)(
ω
S
в от-
личие от функции
)(
ω
C
состоит в том, что первая зависит только
60
от частоты, но не зависит от периода повторения. С точностью до
размерности можно сказать, что
)(
ω
C
=
)(
ω
S
при Т = 1с.
Сравним теперь размерности. Если обратиться к (9.13), то
сразу видно, что
)(
ω
C
имеет размерность исходной функции f(t),
т.е. [
)(
ω
C
]=[f(t)]. Размерность
)(
ω
S
,
как следует
из
формулы
(9.16), определяется соотношением [
)(
ω
S
]=[f(t)]с=[ )(
ω
C
]с, т.е.
равна размерности сигнала, умноженного на время.
Сравним теперь ряд и интеграл Фурье (обратное интеграль-
ное преобразование Фурье). Для этого перепишем ряд Фурье в
форме (9.8) и обратное преобразование Фурье (9.17)
∑
∞
−∞=
=
k
e
k
Ctf
t
k
j
ω
)( ,
∫
∞
∞−
=
ωω
π
ω
deStf
t
k
j
)(
2
1
)(
.
Из сопоставления этих соотношений видно, что в интеграле
Фурье имеем, как и в ряде Фурье, суммирование составляющих.
Но в интеграле Фурье суммируются составляющие бесконечно
малой амплитуды:
ωω
π
ω
dSCd )(
2
1
)(
= при бесконечном их числе.
Спектр для непериодического процесса – сплошной, т.е. присутст-
вуют все составляющие; расстояние между смежными состав-
ляющими равно
ω
d , т.е. бесконечно малой величине.
Таким образом, интеграл Фурье (как и ряд Фурье для перио-
дической функции) формирует непериодический процесс. Но в
отличие от ряда Фурье интеграл Фурье формирует этот процесс за
счет суммирования бесконечного числа составляющих (сплошной,
а не дискретный спектр) при бесконечно малой амплитуде каждой
составляющей. При этом,
если непериодическая функция будет
иметь ту же форму, что и периодическая функция, то имеем соот-
ношение (9.21) для связи между комплексной амплитудой
)(
ω
C
и
спектральной плотностью
)(
ω
S
.
9.3. Сопоставление комплексной амплитуды от частоты, но не зависит от периода повторения. С точностью до
и спектральной плотности, а также ряда и интеграла Фурье размерности можно сказать, что C (ω ) = S (ω ) при Т = 1с.
Сравним формулы (9.13) и (9.16) для комплексной амплиту- Сравним теперь размерности. Если обратиться к (9.13), то
ды Ck и спектральной плотности S (ω ) . Для этого снова перепи- сразу видно, что C (ω ) имеет размерность исходной функции f(t),
шем эти формулы: т.е. [ C (ω ) ]=[f(t)]. Размерность S (ω ) , как следует из формулы
. (9.16), определяется соотношением [ S (ω ) ]=[f(t)]с=[ C (ω ) ]с, т.е.
T /2
1 ∞
− jkω1t равна размерности сигнала, умноженного на время.
Ck =
T ∫ f (t )e dt , S (ω ) = ∫ f (t )e − jωt dt .
−∞ Сравним теперь ряд и интеграл Фурье (обратное интеграль-
−T / 2
ное преобразование Фурье). Для этого перепишем ряд Фурье в
Заметим, что Ck рассчитывается для частоты ω k = kω1 , т.е. форме (9.8) и обратное преобразование Фурье (9.17)
1 ∞
T /2 ∞
1 − jω k t jω t jω t
можем записать Ck = C (ω k ) =
T ∫ f (t )e dt . Далее, если вычис- f (t ) = ∑ Ck e k ,
k = −∞
f (t ) = ∫ S (ω )e k dω .
2π − ∞
T /2
ляется C (ω k ) и S (ω k ) для сигнала одной и той же формы, то зна- Из сопоставления этих соотношений видно, что в интеграле
Фурье имеем, как и в ряде Фурье, суммирование составляющих.
чение интеграла с пределами ±∞ для S (ω k ) и с пределами ±T / 2 Но в интеграле Фурье суммируются составляющие бесконечно
для C (ω k ) будет одним и тем же, поскольку подынтегральные 1
малой амплитуды: dC (ω ) = S (ω )dω при бесконечном их числе.
функции одинаковы. Значит, можем писать из сопоставления 2π
(9.13) и (9.16): Спектр для непериодического процесса – сплошной, т.е. присутст-
вуют все составляющие; расстояние между смежными состав-
1 ляющими равно dω , т.е. бесконечно малой величине.
C (ω k ) = S (ω k ) , (9.20)
T Таким образом, интеграл Фурье (как и ряд Фурье для перио-
или, если не привязываться к конкретной частоте: дической функции) формирует непериодический процесс. Но в
отличие от ряда Фурье интеграл Фурье формирует этот процесс за
1 счет суммирования бесконечного числа составляющих (сплошной,
C (ω ) = S (ω ) . (9.21)
T а не дискретный спектр) при бесконечно малой амплитуде каждой
Спектральная плотность S (ω ) зависит только от вида функ- составляющей. При этом, если непериодическая функция будет
иметь ту же форму, что и периодическая функция, то имеем соот-
ции f(t), а комплексная амплитуда C (ω ) зависит и от периода по-
ношение (9.21) для связи между комплексной амплитудой C (ω ) и
вторения. С ростом периода Т величина C (ω ) уменьшается. В таб-
спектральной плотностью S (ω ) .
лицах обычно приводится спектральная плотность S (ω ) . Для на-
хождения C (ω ) следует для данного периода повторения разде-
лить S (ω ) на величину периода Т. Удобство функции S (ω ) в от-
личие от функции C (ω ) состоит в том, что первая зависит только
59 60
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 28
- 29
- 30
- 31
- 32
- …
- следующая ›
- последняя »
