ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
61
10. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
ФУРЬЕ И ЛАПЛАСА
10.1. Связь между интегральными преобразованиями
Фурье и преобразованиями Лапласа
Между интегральными преобразованиями Фурье и преобра-
зованиями Лапласа имеется теснейшая связь. Эти преобразования
настолько близки, что иногда их обобщают как одно преобразова-
ние (например, называя оба преобразования трансформациями
Фурье). Вместе с тем наглядность спектрального метода исследо-
вания сигналов и электронных цепей, базирующегося на инте-
гральных преобразованиях Фурье, позволяет по аналогии дать
фи-
зическое наглядное толкование и внешне формальным методам
операционного исчисления, опирающегося на интегральные пре-
образования Лапласа. Для сопоставления общих подходов напи-
шем вначале интегральные соотношения (2.2) и (9.16) для прямых
преобразований Фурье и Лапласа:
∫
=
∞
∞−
−
dtetfS
tj
ω
ω
)()(
,
∫
=
∞
−
0
)()( dtetfpS
pt
.
Введем новую (вспомогательную) функцию
ct
etftf
−
= )()(
1
, (10.1)
где c – абсцисса сходимости,
0≥c .
Очевидно, что с ростом t при
0>t имеем уменьшение
функции
)(
1
tf по отношению к
)(tf
по экспоненциальному зако-
ну. При достаточно большом
c
для физических задач можно
обеспечить сходимость интеграла (9.16) для вспомогательной
функции
)(
1
tf (рис. 10.1а и б).
Начало отсчета времени можно всегда отнести к моменту
возникновения сигнала. Тогда
∫∫
==
∞
∞−
∞
−−
0
)()()( dtetfdtetfS
tjtj
ωω
ω
. (10.2)
(Здесь учтено условие
0)(
=
tf при 0<t .)
62
Рассмотрим теперь интеграл
∫
=
∞
∞−
−
dtetfS
tj
ω
ω
)()(
11
, (10.3)
если
0)(
=
tf при 0
<
t , то и 0)(
1
=
tf при 0
<
t . Тогда интеграл
(10.3) перепишем в форме одностороннего ППФ:
∫
=
∞
−
0
11
)()( dtetfS
tj
ω
ω
,
и с учетом (10.1)
∫
=
∞
+−
0
)(
1
)()( dtetfS
tjc
ω
ω
. (10.4)
Сравнивая (10.4) с односторонним прямым преобразованием
Фурье (ППФ) (10.2) относительно функции
)(tf
, замечаем, что в
результате преобразования получаем функцию
)(
ω
jcS +
, где
)(
ω
jS
– спектральная плотность функции )(tf
*
. Таким образом,
(10.4) можно переписать в виде
∫
=+=
∞
+−
0
)(
1
)()()( dtetfjcSjS
jc
ω
ωω
. (10.5)
Вводя комплексную переменную
ω
jcp
+
=
, последнее соотноше-
ние перепишем в форме (2.2), т.е. в форме прямого преобразова-
ния Лапласа (ППЛ)
*
:
{}
∫
==
∞
−
0
)()()( tfLdtetfpS
pt
. (10.6)
Значит, отличие ППФ от ППЛ состоит в том, что в послед-
нем сходимость интеграла обеспечивается за счет введения мно-
жителя
)0( >
−
ce
ct
в исходной функции )(tf .
Покажем связь между обратным преобразованием Фурье и
обратным преобразованием Лапласа. Для этого запишем ОПФ ви-
да (9.17) для функции
)(
1
tf :
∫
=
∞
∞−
ωω
π
ω
dejStf
tj
)()(
1
2
1
1
. (10.7)
*
Здесь введен аргумент спектральной плотности с множителем j
ω
. Это не-
принципиально, так как в преобразовании Фурье всегда есть множитель j при
ω
.
10. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ Рассмотрим теперь интеграл
ФУРЬЕ И ЛАПЛАСА ∞
S1 (ω ) = ∫ f1 (t )e − jω t dt , (10.3)
−∞
10.1. Связь между интегральными преобразованиями
если f (t ) = 0 при t < 0 , то и f1 (t ) = 0 при t < 0 . Тогда интеграл
Фурье и преобразованиями Лапласа
(10.3) перепишем в форме одностороннего ППФ:
Между интегральными преобразованиями Фурье и преобра- ∞
S1 (ω ) = ∫ f1 (t )e − jω t dt ,
зованиями Лапласа имеется теснейшая связь. Эти преобразования 0
настолько близки, что иногда их обобщают как одно преобразова- и с учетом (10.1)
ние (например, называя оба преобразования трансформациями
Фурье). Вместе с тем наглядность спектрального метода исследо- ∞
S1 (ω ) = ∫ f (t ) e − ( c + jω )t dt . (10.4)
вания сигналов и электронных цепей, базирующегося на инте- 0
гральных преобразованиях Фурье, позволяет по аналогии дать фи- Сравнивая (10.4) с односторонним прямым преобразованием
зическое наглядное толкование и внешне формальным методам Фурье (ППФ) (10.2) относительно функции f (t ) , замечаем, что в
операционного исчисления, опирающегося на интегральные пре-
образования Лапласа. Для сопоставления общих подходов напи- результате преобразования получаем функцию S (c + jω ) , где
шем вначале интегральные соотношения (2.2) и (9.16) для прямых S ( jω ) – спектральная плотность функции f (t ) *. Таким образом,
преобразований Фурье и Лапласа: (10.4) можно переписать в виде
∞ ∞
− jω t − pt ∞
S (ω ) = ∫ f (t )e dt , S ( p ) = ∫ f (t )e dt . S1 ( jω ) = S (c + jω ) = ∫ f (t )e − (c + jω ) dt . (10.5)
−∞ 0
0
Введем новую (вспомогательную) функцию Вводя комплексную переменную p = c + jω , последнее соотноше-
f1 (t ) = f (t )e − ct , (10.1) ние перепишем в форме (2.2), т.е. в форме прямого преобразова-
где c – абсцисса сходимости, c ≥ 0 . ния Лапласа (ППЛ)*:
Очевидно, что с ростом t при t > 0 имеем уменьшение ∞
функции f1(t ) по отношению к f (t ) по экспоненциальному зако- S ( p ) = ∫ f (t )e − pt dt = L{ f (t )} . (10.6)
0
ну. При достаточно большом c для физических задач можно Значит, отличие ППФ от ППЛ состоит в том, что в послед-
обеспечить сходимость интеграла (9.16) для вспомогательной нем сходимость интеграла обеспечивается за счет введения мно-
функции f1(t ) (рис. 10.1а и б). жителя e − ct (c > 0) в исходной функции f (t ) .
Начало отсчета времени можно всегда отнести к моменту Покажем связь между обратным преобразованием Фурье и
возникновения сигнала. Тогда обратным преобразованием Лапласа. Для этого запишем ОПФ ви-
∞ ∞
S (ω ) = ∫ f (t )e − jω t dt = ∫ f (t )e − jω t dt . (10.2) да (9.17) для функции f1(t ) :
−∞ 0 1 ∞ jω t
(Здесь учтено условие f (t ) = 0 при t < 0 .) f1 (t ) = ∫ S ( jω )e dω . (10.7)
2π − ∞ 1
*
Здесь введен аргумент спектральной плотности с множителем jω. Это не-
принципиально, так как в преобразовании Фурье всегда есть множитель j при ω.
61 62
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 29
- 30
- 31
- 32
- 33
- …
- следующая ›
- последняя »
