Применение метода, упрощающего обратное преобразование Лапласа при исследовании динамики колебательных систем. Золотарев И.Д. - 33 стр.

                                1                                      Отличие состоит в том, что интегральные преобразования
                                  S (ω ) dω
                               2π                                 Фурье, используемые при спектральном методе исследования
                                                                  электронных цепей и сигналов, позволяют достичь весьма на-
                                                                  глядного представления процессов прохождения сигналов через
                                                                  цепи в частотной области. Использование интегральных преобра-
                                                                  зований Лапласа, позволяющих, что очень важно, получать ре-
                                                                  зультаты непосредственно во временной области, носит несколько
                                                                  формальный характер. Показанное здесь единство обоих этих ме-
                                                                  тодов в определенной степени позволяет устранить формальность
                                                                  подхода при использовании операционного исчисления, бази-
                                           1                      рующегося на преобразованиях Лапласа. Достигаемая при этом
                                             S (ω ) e ct dω       физичность понимания приложения операционного исчисления
                                          2π
                                                                  позволяет избежать возможных ошибок, обусловленных внешней
                                                                  формальностью его процедур. Общность спектрального метода и
                                                                  операционного исчисления позволяет построить единый аппарат
                                                                  исследования процессов в электронных линейных цепях, как это,
                                                                  например, сделано в работе М.И. Конторовича [1].
                           Рис. 10.2
                                                                      10.2. Общность и отличия операционного исчисления
                                                                              и спектрального метода исследования
      Переход же от (10.9) к (10.11), приводящий исходное со-
                                                                                 линейных электрических цепей
отношение к форме ОПЛ, осуществляется уже за счет замены ве-
щественной переменной интегрирования ω на комплексную пере-
                                                                              10.2.1. Общность изображающей функции
менную p = c + jω . Но при этом формула (10.11) (т.е. ОПЛ) ока-
                                                                                 и спектральной плотности сигнала
зывается более сильной для решения физических задач, чем фор-
мула (9.19), определяющая ОПФ. Преимущества ОПЛ в форме                Сравнивая ППФ и ППЛ (формулы (9.18) и (2.1)), замечаем:
(10.11) обеспечивается возможностью привлечения мощных мето-      если начало отсчета времени охватывает время существования
дов интегрирования линейных дифференциальных уравнений, ба-       сигнала так, что при t < 0 имеем f (t ) = 0 , то при формальной заме-
зирующихся на теории функций комплексного переменного. Это        не переменной на jω получаем из изображения сигнала спек-
позволило построить специальный математический аппарат ис-        тральную плотность. Очевидно, это же правило действует и в об-
следования переходных процессов в линейных системах – опера-      ратном направлении. Действительно, сопоставляя
ционное исчисление.                                                                ∞
                                                                                                                                               ∞
      Из проведенного рассмотрения следует теснейшая связь ме-          S ( p) =   ∫ f (t )⋅ e
                                                                                                 − pt
                                                                                                        dt                        S ( jω ) =   ∫ f (t )⋅ e
                                                                                                                                                             − jω t
                                                                                                                     и                                                dt ,
жду интегральными преобразованиями Фурье и интегральными                           0
                                                                                                                                               0
преобразованиями Лапласа, которые, вообще говоря, можно рас-
                                                                  можем сразу записать:
сматривать с единых позиций как обеспечивающие построение
единого метода решения линейных дифференциальных уравне-                                                     S ( jω ) j ω = p = S ( p ) .
ний.

                              65                                                                                         66