ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
69
Из (10.17) и (10.19) сразу следует важнейшее соотношение
)()(
.
*
.
ωω
−= SS , (10.20)
т.е. для вещественного сигнала спектральная плотность его при
изменении знака частоты описывается комплексно-сопряженной
функцией.
Запишем спектральную плотность сигнала
)(tf
в форме
)(
)()(
ωψ
ωω
s
j
eSS =
.
Тогда из (10.17)
)(
)(
,)()()(
22
ω
ω
ψωωω
M
N
arctgNMS
s
−=+=
. (10.21)
Так как в общем случае спектральную плотность можно предста-
вить как
)(sin)()(cos)()}(Im{)}(Re{)(
ωψωωψωωωω
ss
jSSSjSS +=+=
, (10.22)
то, сопоставляя (10.22) с (10.17), имеем
)()}(Im{)()}(Re{
ωωωω
NSMS −==
. (10.23)
Перейдем к сигналу, имеющему наложенные на регулярную
составляющую разрывы первого рода типа скачка. Тогда можно
выделить отдельно регулярную и импульсную (сингулярную) со-
ставляющие сигнала [11, c.136]. Пусть имеем скачок сигнала при
0=t
. Аналог сигнала с таким скачком получаем применяя ППЛ по
отношению к регулярному сигналу, начало которого лежит в об-
ласти
0<t
.
В этом случае за счет нулевого значения нижнего предела
интеграла в ППЛ срезается регулярная составляющая
)(tf
при
0<t
, т.е. учитывается лишь значение функции )(tf при
0>t
. То-
гда
=
+
= )()()( tftftf
регсинг
)()(1)0( tftf
рег
+
. Здесь очевидно
00 =)(
рег
f , а скачок функции )(tf при
0=t
учитывается первым
сингулярным членом суммы.
Изображением сингулярной составляющей
)(1)0()( tftf
синг
=
будет функция
p
f
pf
синг
)0(
)( =
. (10.24)
70
Переход
ω
jp →
дает спектр
)(
)0(
)(
ω
ω
ω
jN
j
f
S −==
. (10.25)
Здесь
0)()}(Re{ ==
ωω
MS
.
Спектральная плотность
)(
ω
S
в (10.25) содержит только
мнимую составляющую. А это, согласно (10.18), должно во вре-
менной области соответствовать сигналу, описываемому только
нечетной функцией времени.
Но, с другой стороны, сингулярный сигнал вида функции
скачка
)(1)0()( tftf
синг
=
содержит как четную, так и нечетную со-
ставляющие.
Действительно,
)(tf
синг
можно представить в виде суммы
[32]:
)(1)0(]sgn1)[0(
2
1
)( tftftf
синг
=+=
, (10.26)
где
sgn – сигнум-функция (функция знака):
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
<−
=
>
=
.0,1
;0,0
;0,1
sgn
t
t
t
t
(10.27)
Выражение (10.26) определяет сингулярный сигнал вида
функции скачка как сумму нечетной составляющей (сигнум-
функции
tf sgn)0(
2
1
) и «вырожденной» четной составляющей («вы-
рожденной» в том смысле, что четная составляющая здесь просто
представляет постоянную составляющую, равную
)0(
2
1
f
вдоль
всей оси времени) (рис. 10.3.).
Спектр вида (10.25) может формироваться только нечетной
составляющей сигнала (10.26), определяемой сигнум-функцией.
Из (10.17) и (10.19) сразу следует важнейшее соотношение Переход p → jω дает спектр
. .
f (0)
*
S (ω ) = S ( −ω ) ,(10.20) S (ω ) = = − jN (ω ) . (10.25)
jω
т.е. для вещественного сигнала спектральная плотность его при
изменении знака частоты описывается комплексно-сопряженной Здесь Re{S (ω )} = M (ω ) = 0 .
функцией. Спектральная плотность S (ω ) в (10.25) содержит только
Запишем спектральную плотность сигнала f (t ) в форме мнимую составляющую. А это, согласно (10.18), должно во вре-
S (ω ) = S (ω )e jψ s (ω ) . менной области соответствовать сигналу, описываемому только
Тогда из (10.17) нечетной функцией времени.
N (ω )
Но, с другой стороны, сингулярный сигнал вида функции
S (ω ) = M 2 (ω ) + N 2 (ω ) , ψ s = −arctg . (10.21) скачка f синг (t ) = f (0)1(t ) содержит как четную, так и нечетную со-
M (ω )
ставляющие.
Так как в общем случае спектральную плотность можно предста-
Действительно, f синг (t ) можно представить в виде суммы
вить как
[32]:
S (ω ) = Re{S (ω)} + j Im{S (ω )} = S (ω) cosψ s (ω ) + jS(ω ) sinψ s (ω) , (10.22)
1
то, сопоставляя (10.22) с (10.17), имеем f синг (t ) = f (0)[1 + sgn t ] = f (0)1(t ) , (10.26)
2
Re{S (ω )} = M (ω ) Im{S (ω )} = −N (ω ) . (10.23) где sgn – сигнум-функция (функция знака):
Перейдем к сигналу, имеющему наложенные на регулярную
⎧1, t > 0;
составляющую разрывы первого рода типа скачка. Тогда можно ⎪
выделить отдельно регулярную и импульсную (сингулярную) со- sgn t = ⎨0, t = 0; (10.27)
⎪−1, t < 0.
ставляющие сигнала [11, c.136]. Пусть имеем скачок сигнала при ⎩
t = 0 . Аналог сигнала с таким скачком получаем применяя ППЛ по Выражение (10.26) определяет сингулярный сигнал вида
отношению к регулярному сигналу, начало которого лежит в об- функции скачка как сумму нечетной составляющей (сигнум-
ласти t < 0 . 1
В этом случае за счет нулевого значения нижнего предела функции f (0) sgnt ) и «вырожденной» четной составляющей («вы-
2
интеграла в ППЛ срезается регулярная составляющая f (t) при рожденной» в том смысле, что четная составляющая здесь просто
t < 0 , т.е. учитывается лишь значение функции f (t ) при t > 0 . То- представляет постоянную составляющую, равную
1
f (0) вдоль
гда f (t ) = f синг (t ) + f рег (t ) = f (0)1(t ) + f рег (t ) . Здесь очевидно 2
всей оси времени) (рис. 10.3.).
f рег (0) = 0 , а скачок функции f (t ) при t = 0 учитывается первым
Спектр вида (10.25) может формироваться только нечетной
сингулярным членом суммы. составляющей сигнала (10.26), определяемой сигнум-функцией.
Изображением сингулярной составляющей f синг (t ) = f (0)1(t )
будет функция
f (0)
f синг ( p ) = . (10.24)
p
69 70
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 33
- 34
- 35
- 36
- 37
- …
- следующая ›
- последняя »
