ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
71
0
)0(f
+
Рис. 10.3
)0(f
0
0
)0(
2
1
f
=
t
t
t
)(tf
синг
Проверим это, выполнив ОПФ по отношению к спектраль-
ной плотности
ω
ω
j
f
S
)0(
)( =
.
Пример 1.
Ищем }/)0({)(
1
ω
jfFty
−
= .
][
2
)0(sincos
2
)0(
)0(
2
1
)(
21
II
f
d
j
t
jd
j
tf
d
j
e
fty
tj
+=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+==
∫∫∫
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
π
ω
ω
ω
ω
ω
ω
π
ω
ωπ
ω
.
∫
∞
∞−
== 0
cos
1
ω
ω
ω
d
j
t
I в силу нечетности подынтегральной функции
при симметричных пределах интегрирования.
72
∫∫∫
∞∞
∞−
∞
∞−
===
0
2
sin
2
sinsin
ξ
ξ
ξ
ξ
ξ
ξ
ω
ω
ω
ddtd
t
t
I .
Правый интеграл получен из предыдущего с учетом четности по-
дынтегральной функции.
Интегральный синус определен как
ππξ
ξ
ξ
=⇒=∞=
∫
2
0
,2/,
sin
ISidtSi
t
при 0>t .
Изменение знака
t
меняет знак
2
I на обратный, т.е.
π
−=
2
I при
0<t . Значит, при 0
=
t имеем скачок
2
I от
π
−
до
π
, т.е.
tI sgn
2
π
=
и, следовательно,
t
f
t
f
ty sgn
2
)0(
sgn
2
)0(
)( ==
π
π
.
Таким образом, нечетная составляющая сингулярного сигнала,
определяемая функцией
t
f
sgn
2
)0(
, имеет спектральную плотность
ω
ω
j
f
S
)0(
)( =
, что и требовалось доказать.
Для нахождения спектра результирующего сигнала (10.26)
нужно найти спектральную плотность постоянной составляющей
его (первый член в (10.26)). Для этого предварительно получим
некоторые вспомогательные соотношения.
Определим
δ
-функцию через ОПФ, учитывая, что спектр ее
1)( =
ω
δ
S
:
∫∫
∞
∞−
∞
∞−
==
ω
π
ωω
π
δ
ωω
δ
dedeSt
tjtj
2
1
)(
2
1
)(
. (10.28)
Произведем формальную замену переменных t и
ω
. Тогда
∫
∞
∞−
= dte
tj
ω
π
ωδ
2
1
)(
, (10.29)
или, меняя знак у переменной
ω
, получим
∫
∞
∞−
−
=− dte
tj
ω
π
ωδ
2
1
)(
. (10.30)
∞ ∞ ∞
sin ωt sin ξ sin ξ
f синг (t ) I2 = ∫ ωt dωt = ∫ ξ dξ =2 ∫ ξ dξ .
−∞ −∞ 0
f ( 0) Правый интеграл получен из предыдущего с учетом четности по-
дынтегральной функции.
0 t Интегральный синус определен как
t
sin ξ
Si t = ∫ dξ , Si ∞ = π / 2, ⇒ I 2 = π при t > 0 .
ξ
= 0
Изменение знака t меняет знак I 2 на обратный, т.е. I 2 = −π при
t < 0 . Значит, при t = 0 имеем скачок I 2 от −π до π , т.е.
1
f ( 0) I 2 = π sgn t и, следовательно,
2
f (0) f ( 0)
0 t y (t ) = π sgn t = sgn t .
2π 2
Таким образом, нечетная составляющая сингулярного сигнала,
f (0)
+ определяемая функцией
2
sgn t , имеет спектральную плотность
f ( 0)
S (ω ) = , что и требовалось доказать.
f (0) jω
t Для нахождения спектра результирующего сигнала (10.26)
0
нужно найти спектральную плотность постоянной составляющей
его (первый член в (10.26)). Для этого предварительно получим
Рис. 10.3 некоторые вспомогательные соотношения.
Определим δ -функцию через ОПФ, учитывая, что спектр ее
Проверим это, выполнив ОПФ по отношению к спектраль- Sδ (ω ) = 1 :
f (0) ∞ ∞
ной плотности S (ω) = . 1 1
∫ Sδ (ω )e jω t dω = e jω t d ω .
2π −∫∞
jω δ (t ) = (10.28)
2π − ∞
Пример 1. Ищем y (t ) = F −1{ f (0) / jω } .
Произведем формальную замену переменных t и ω . Тогда
∞ jω t ∞ ∞
1 e f (0) ⎡ cosωt sinωt ⎤ f (0) 1
∞
y(t) = ∫ f (0) dω = ⎢ ∫ dω + j ∫ dω⎥ = [I1 + I2 ] . e jω t dt ,
2π −∫∞
2π −∞ jω 2π ⎣⎢−∞ jω jω δ (ω ) = (10.29)
−∞ ⎦⎥ 2π
∞
cosω t или, меняя знак у переменной ω , получим
I1 = ∫ jω
dω = 0 в силу нечетности подынтегральной функции
1
∞
−∞ e − jω t dt .
2π −∫∞
δ ( −ω ) = (10.30)
при симметричных пределах интегрирования.
71 72
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 34
- 35
- 36
- 37
- 38
- …
- следующая ›
- последняя »
