Применение метода, упрощающего обратное преобразование Лапласа при исследовании динамики колебательных систем. Золотарев И.Д. - 37 стр.

      Рассматривая δ (x) как четную функцию своего аргумента,                                   Необходимым условием отсутствия δ -сингулярности в спек-
когда имеем δ (x) = δ (− x) , умножим правую и левую части в                              тре сигнала является конечное значение интеграла от абсолютного
(10.30) на постоянную величину A0 .                                                       значения функции, описывающей сигнал, т.е.
                                                                                                                          ∞
                                    ∞
                                            − jω t                                                                        ∫    f ( t ) dt ≠ ±∞
Получим            A0 2πδ (ω ) =    ∫ A0e            dt = F { A0 } .            (10.31)                                  −∞
                                   −∞                                                     (иногда это условие абсолютной интегрируемости ставится, как
     В правой части выражения (10.31) имеем ППФ относитель-                               необходимое для выполнения ППФ [26, с. 64]). Для того чтобы
но постоянной величины A0 , т.е. спектральную плотность посто-
                                                                                          обойти эту трудность, вводят множитель сходимости e −ct , c>0.
янной величины, которая определена через δ -функцию.                                      При этом сигнал считается определенным на положительной по-
Иными словами,                                                                            луоси времени. Находят спектр такой функции:
                      S A (ω ) = A0 2πδ (ω ) .          (10.32)                                                                       1
                         0                                                                                           S e (ω ) =           .
                                                                                                                                   c + jω
     Пример 2. Для контроля полученного соотношения (10.32)                                     Затем, устремляя c к нулю, приходим к спектру вида (10.25).
найдем исходную величину A0 , применив к (10.32) ОПФ:                                     При таком подходе в определении спектра сигнала, описываемого
                                                ∞                                         функцией скачка, как раз и теряется δ -сингулярность спектра
                                  1
                                                ∫ δ (ω )e
              −1                                             jω t                         (10.35). Ошибка возникает из-за того, что сколь бы малое c не бы-
            F {S A (ω )} = A0 2π                                    dω = A0 ,   (10.33)
                  0              2π                                                       ло, имеем экспоненту, которая при t → ∞ стремится к нулю и,
                                               −∞
что и следовало ожидать.                                                                  следовательно, имеет ограниченную площадь, а значит, постоян-
      Таким образом, спектр постоянной величины определяется                              ная составляющая равна нулю, отсюда равна нулю и соответст-
через δ -функцию в частотной области. Следовательно, из (10.32)                           вующая ей δ -сингулярная составляющая спектра.
                                                                                                                                                 −ct
                                       1                                                       Иное дело, когда речь идет о ППЛ, множитель e вводится
спектр постоянной величины                f ( 0)
                                       2                                                  специально для обеспечения сходимости исходной функции f (t ) .
                                  S f 0 (ω ) = π f (0)δ (ω ) .                  (10.34)   Тогда в выражении для спектра Se (ω ) применяем замену пере-
      Тогда искомый спектр сингулярного сигнала (функции                                  менной p = c + jω и получаем строгое изображение функции скач-
скачка величиной f(0)) (формула 10.26) определяется как сумма                             ка S ( p) = 1 / p .
спектров (10.25) и (10.34):
                                                                                                  Очевидно, что и обратный переход от спектра функции
                                              ⎡ 1           ⎤                             скачка к ее изображению путем замены в (10.35) jω на p не может
                       Sf        (ω ) = f (0) ⎢    + πδ (ω )⎥ .                 (10.35)
                                              ⎣ jω
                            синг
                                                            ⎦                             быть выполнен, так как член с δ -сингулярностью не позволяет
Следовательно, при рассмотрении сигналов, описываемых функ-                               сделать соответствующую подстановку. В литературе, однако, до-
циями с разрывами первого рода, необходимо проявлять осторож-                             вольно часто встречается переход с использованием множителя
ность при переходе от изображающей функции сигнала к его                                  сходимости [26, 32 и др.]. Тогда получаем
спектральной плотности путем замены p на jω , так как может                                                    Sf      = lim Se (ω ) = 1 / jω .
                                                                                                                  синг c →0
быть потеряна δ -сингулярная составляющая спектра. Об этом же
говорит Ю.В. Тронин в своей статье «Утеряна δ – функция» [33].                            Получаем тот же результат, что и при переходе от изображения
                                                                                          скачка S ( p ) = 1 / p к спектру его замены p на jω .

                                         73                                                                                   74