ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
77
Представим функции, входящие в (10.36), в форме
)(
)()(
ω
ωω
y
j
yy
eSjS
Φ
=
,
)(
)()(
ω
ωω
j
f
j
ff
eSjS
Φ
=
,
)(
)()(
ω
ωω
k
j
eKjK
Φ
=
, (10.40)
откуда можем записать:
)(arg)(
ωω
jS
yy
=Φ , )(arg)(
ωω
jS
ff
=Φ , )(arg)(
ωω
jK
k
=Φ . (10.41)
Очевидно, уравнение (10.36) определяет связь не только между
амплитудами входных сигналов, но и между их аргументами.
Действительно, из (10.36) следует, что
)(arg)(arg)(arg
ωωω
jSjKjS
f
+= , (10.42)
в другой записи
)()()(
ωωω
kfy
Φ+Φ=Φ
. (10.42а)
Поскольку из (9.20) комплексные амплитуды спектра периодиче-
ского сигнала
)(
ω
y
C
и )(
ω
f
C
определены через спектральные
плотности как
)(
1
)(
kyky
jS
T
jC
ωω
=
,
)(
1
)(
kfkf
jS
T
jC
ωω
=
, (10.43)
)(
1
)(
ωω
yy
S
T
C =
,
)(
1
)(
kfkf
S
T
C
ωω
=
. (10.44)
Аргументы комплексных амплитуд, определяющие началь-
ные фазы гармонических составляющих, связаны для разложения
в ряд Фурье входного и выходного периодических сигналов той
же зависимостью, что и связь между аргументами соответствую-
щих спектральных плотностей (формулы (10.42) и (10.42а)):
)()(arg)(arg
ωωω
yyy
jSjC Φ==
,
)()(arg)(arg
ωωω
fff
jSjC Φ==
. (10.45)
Значит,
)(
ω
y
Ф
и
)(
ω
f
Ф
можно трактовать как зависимость от
частоты начальных фаз соответствующих спектральных состав-
ляющих, амплитуды которых конечны для периодического сигна-
ла (это функции
)(
ω
y
C
и
)(
ω
f
C
)), и бесконечно малы для непе-
риодических сигналов (это функции
ωω
π
dS
y
)(
2
1
и
ωω
π
dS
f
)(
2
1
.
78
Функция
)(arg)(
ωω
jK
k
=Φ , (10.46)
определяющая, согласно (10.42) или (10.42а), зависимость между
начальными фазами спектральных компонент входного и выход-
ного сигналов, называется фазочастотной характеристикой систе-
мы (ФЧХ системы).
Следовательно, комплексная частотная характеристика сис-
темы
)(
ω
jK
сразу задает две частотные характеристики: модуль
ее
)(
ω
K – АЧХ системы, аргумент )(arg
ω
jK
– ФЧХ системы.
Значит, комплексное уравнение (10.36) определяет сразу две
связи между спектрами входного и выходного сигналов: по моду-
лям через АЧХ и начальным фазам через ФЧХ. Это находится в
соответствии с тем, что спектр любого сигнала определяется дву-
мя характеристиками спектральной плотности – зависимостью от
частоты модуля и аргумента ее, соответствующих амплитуде
и
начальной фазе каждой спектральной компоненты.
Отметим, что здесь речь идет о математическом представле-
нии спектра, когда формально (использованием формулы Эйлера
для представления синусоиды) вводятся наряду с положительны-
ми и отрицательные частоты (см. переход от (9.5) к (9.8)). Физиче-
ского смысла отрицательные частоты не имеют, так как частота
колебания – это число периодов в
секунду, которое может быть
только положительным, но это очень удобная математическая аб-
стракция, позволяющая многие соотношения в теории спектров
представлять в комплексной форме (ср., например, формулы ряда
Фурье (9.2), (9.3) с (9.8)).
Таким образом, при физическом представлении спектра при-
сутствуют составляющие спектра только положительных (физиче-
ских) частот (формулы (9.2) и (9.3)). При эквивалентном матема-
тическом
представлении присутствуют как положительные, так и
отрицательные частоты. Достоинством математического представ-
ления, помимо компактности записей, улучшающих обозревае-
мость получаемых результатов, является возможность представ-
ления колебаний в форме комплексных функций, а также их на-
глядного представления на комплексной плоскости в виде векто-
ров (где отображаются одновременно амплитуды и фазы соответ-
ствующих синусоидальных
составляющих). Амплитуды состав-
Представим функции, входящие в (10.36), в форме Функция
jΦ y (ω) jΦ f ( jω ) Φ k (ω ) = arg K ( jω ) , (10.46)
S y ( jω) = S y (ω)e , S f ( jω ) = S f (ω )e ,
определяющая, согласно (10.42) или (10.42а), зависимость между
jΦ k (ω )
K ( jω ) = K (ω )e , (10.40) начальными фазами спектральных компонент входного и выход-
откуда можем записать: ного сигналов, называется фазочастотной характеристикой систе-
Φ y (ω ) = arg S y ( jω ) , Φ f (ω ) = arg S f ( jω ) , Φ k (ω ) = arg K ( jω ) . (10.41) мы (ФЧХ системы).
Следовательно, комплексная частотная характеристика сис-
Очевидно, уравнение (10.36) определяет связь не только между
темы K ( jω ) сразу задает две частотные характеристики: модуль
амплитудами входных сигналов, но и между их аргументами.
Действительно, из (10.36) следует, что ее K (ω ) – АЧХ системы, аргумент arg K ( jω ) – ФЧХ системы.
arg S ( jω ) = arg K ( jω ) + arg S f ( jω ) , (10.42) Значит, комплексное уравнение (10.36) определяет сразу две
связи между спектрами входного и выходного сигналов: по моду-
в другой записи
лям через АЧХ и начальным фазам через ФЧХ. Это находится в
Φ y (ω ) = Φ f (ω ) + Φ k (ω ) . (10.42а)
соответствии с тем, что спектр любого сигнала определяется дву-
Поскольку из (9.20) комплексные амплитуды спектра периодиче- мя характеристиками спектральной плотности – зависимостью от
ского сигнала C y (ω ) и C f (ω ) определены через спектральные частоты модуля и аргумента ее, соответствующих амплитуде и
плотности как начальной фазе каждой спектральной компоненты.
1
Отметим, что здесь речь идет о математическом представле-
1
C y ( jω k ) = S y ( jω k ) , C f ( jω k ) = S f ( jω k ) , (10.43) нии спектра, когда формально (использованием формулы Эйлера
T T
для представления синусоиды) вводятся наряду с положительны-
1 1
C y (ω ) = S y (ω ) , C f (ωk ) =
S f (ωk ) . (10.44) ми и отрицательные частоты (см. переход от (9.5) к (9.8)). Физиче-
T T ского смысла отрицательные частоты не имеют, так как частота
Аргументы комплексных амплитуд, определяющие началь- колебания – это число периодов в секунду, которое может быть
ные фазы гармонических составляющих, связаны для разложения только положительным, но это очень удобная математическая аб-
в ряд Фурье входного и выходного периодических сигналов той стракция, позволяющая многие соотношения в теории спектров
же зависимостью, что и связь между аргументами соответствую- представлять в комплексной форме (ср., например, формулы ряда
щих спектральных плотностей (формулы (10.42) и (10.42а)): Фурье (9.2), (9.3) с (9.8)).
arg C y ( jω ) = arg S y ( jω ) = Φ y (ω ) , Таким образом, при физическом представлении спектра при-
arg C f ( jω ) = arg S f ( jω ) = Φ f (ω ) . (10.45) сутствуют составляющие спектра только положительных (физиче-
ских) частот (формулы (9.2) и (9.3)). При эквивалентном матема-
Значит, Ф y (ω ) и Ф f (ω ) можно трактовать как зависимость от тическом представлении присутствуют как положительные, так и
частоты начальных фаз соответствующих спектральных состав- отрицательные частоты. Достоинством математического представ-
ляющих, амплитуды которых конечны для периодического сигна- ления, помимо компактности записей, улучшающих обозревае-
ла (это функции C y (ω ) и C f (ω ) )), и бесконечно малы для непе- мость получаемых результатов, является возможность представ-
ления колебаний в форме комплексных функций, а также их на-
1 1
риодических сигналов (это функции S y (ω )dω и S f (ω )dω . глядного представления на комплексной плоскости в виде векто-
2π 2π ров (где отображаются одновременно амплитуды и фазы соответ-
ствующих синусоидальных составляющих). Амплитуды состав-
77 78
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 37
- 38
- 39
- 40
- 41
- …
- следующая ›
- последняя »
