Применение метода, упрощающего обратное преобразование Лапласа при исследовании динамики колебательных систем. Золотарев И.Д. - 38 стр.

      В большинстве практических случаев такой подход является           Обратимся к записи связи (5.3) между изображениями вход-
удовлетворительным, поскольку постоянная составляющая, нали-       ного и выходного сигнала через передаточную функцию системы
чию которой при моделировании функции скачка и обязана δ -син-                            y ( p) = K ( p) f ( p) .
гулярность спектра, информации не несет, не пропускается пере-
                                                                   Заменяя формально p на jω , получим
ходными RC-цепочками между каскадами и вообще по сигналь-
ным цепям постоянная составляющая, как правило, не рассматри-                                 S y ( jω ) = K ( jω ) S f ( jω ) ,              (10.36)
вается.
                                                                   где S y ( jω) и S f ( jω ) – спектральные плотности выходного и
    10.2.3. Переход от изображающего уравнения системы             входного сигналов соответственно.
   к уравнению для спектров входного и выходного сигналов               Из изложенного выше следует, что
                                                                                 S y ( j ω ) p = j ω = y ( p ) и S f ( j ω ) p = jω = f ( p ) . (10.37)
       Передаточная характеристика системы K ( p) определяется в
соответствии с (5.4) и (5.8) из изображающего уравнения системы    Комплексная функция частоты
(5.2), которое получаем отображением дифференциального урав-                              K ( jω ) p = j ω = K ( p )                          (10.38)
нения системы в пространство изображений (формула (5.1)). Та-      называется комплексной частотной характеристикой системы
ким образом, существует однозначная связь между передаточной       (или просто частотной характеристикой системы).
характеристикой K ( p) и дифференциальным уравнением системы             Из (10.36) следует, что
(1.7) и (1.8).                                                                             S y ( jω ) = K ( jω ) S1 ( jω ) . (10.39)
       Начальные условия могут быть учтены в правой части диф-
ференциального уравнения. При этом они входят в правую часть       Формулу (10.39) можем также записать в эквивалентной форме*
как эквивалентные источники [1, с. 8–9].                                                 S y (ω) = K(ω)S f (ω) .         (10.39а)
       При таком подходе передаточная характеристика K ( p ) оп-         Здесь, как уже отмечалось, отсутствие точек над функциями
ределяется только левой частью дифференциального уравнения         также означает, что берутся модули. Из (10.15) (или из (10.39а))
(собственно самим дифференциальным уравнением системы              следует, что модуль комплексной частотной характеристики пока-
(ДУС), формула (5.8) для K1 ( p) ).                                зывает связь между амплитудами соответствующих составляю-
       Это позволяет, рассматривая связь между спектральным ме-    щих спектра входного и выходного сигналов. Эту характеристику
тодом и операционным исчислением, считать, не снижая общно-        (т.е. K ( jω ) ) называют амплитудно-частотной характеристикой
сти рассуждений, что исследуется «пустой» четырехполюсник, т.е.    системы (АЧХ).
схема имеет нулевые начальные запасы энергии в накопительных
элементах (ее емкостях и индуктивностях) системы. Принятие ги-
потезы «пустого» четырехполюсника позволяет упростить рассу-          *
ждения, такой подход имеет и большое практическое значение,              Чтобы подчеркнуть, что в (10.39а) определена зависимость модулей ком-
                                                                   плексных функций (КФ) от частоты, множитель j при ω опущен. Это оправдано
так как многие задачи радиоэлектроники предполагают нулевые        тем, что при нахождении модуля КФ (который сам является вещественной функ-
исходные состояния системы. Кроме того, спектральный метод в       цией частоты) вещественная и мнимая части КФ складываются в квадратуре. При
обычной постановке не учитывает начальные условия (модифика-       этом в конечных выражениях модуля вещественная и мнимая части КФ уже не
ция спектрального метода, в котором по аналогии с ППЛ учиты-       разделены (множитель j при ω отсутствует). Такой же подход имеем при нахож-
ваются начальные условия, предпринята в [1, с. 175]).              дении аргумента комплексной функции, который ищется как арктангенс отноше-
                                                                   ния мнимой к вещественной части ее.

                              75                                                                            76