Применение метода, упрощающего обратное преобразование Лапласа при исследовании динамики колебательных систем. Золотарев И.Д. - 40 стр.

ляющих физического спектра в два раза больше амплитуд матема-                                                    10.2.4. Таблицы сопоставления спектрального метода
тического (кроме С0 ) (формула (9.14)), т.е.                                                                       и операционного исчисления при интегрировании
                                                                                                                         линейных дифференциальных уравнений
                                    ck = 2 Ck ≡ 2 C (ω k ) ,
                                                                                                               Рассмотрим некоторые таблицы, иллюстрирующие связь меж-
где комплексные амплитуды ряда C (ω k ) определяется формулами
                                                                                                          ду спектральным методом и применением операционного исчис-
(9.13).                                                                                                   ления при исследовании прохождения сигнала через физическую
       Покажем аналогичные соотношения для амплитуд физиче-                                               систему.
ского и математического спектров непериодического веществен-                                                   В табл. 10.1 иллюстрируется связь между спектральными
ного сигнала.                                                                                             плотностями и изображениями сигналов на входе и выходе систе-
       Перепишем выражение для спектральной плотности (9.18) в                                            мы, а также связь между дифференциальным уравнением системы
виде                                                                                                      и передаточной (системной) и частотной характеристиками систе-
                         ∞                              ∞                                                 мы. В гр. 3 показаны переходы от спектров к изображениям сиг-
                                        − jω t
            S ( jω ) =   ∫    f (t )e            dt =   ∫ f (t )(cos ω t − j sin ω t )dt ,   (10.46)      налов и наоборот. Здесь же показано, что при нулевых начальных
                                                                                                          условиях такой же переход имеем между передаточной и частот-
                         −∞                             −∞
                                                                                                          ной характеристиками.
откуда сразу следует важное уравнение
                           S ( jω ) = S * ( − jω ) ,              (10.47)                                                                                            Таблица 10.1
что дает соотношения для модулей и аргументов спектральной
                                                                                                                                                    Функция
плотности:                                                                                                    Исходная                                               Наименование
                                                                                                                                      Оператор     в частотной
              S (ω ) = S (−ω ) , arg S ( jω ) = − arg S (− jω ) . (10.48)                                     функция                                                  функции
                                                                                                                                                     области
Тогда, учитывая (10.47), напишем ОПФ (формула (9.17)) в виде                                                       1                     2              3                  4
                                                                                                                                         L                            Изображение
        1 ∞           jω t        1 ∞⎡             jω t            − jω t ⎤
                                                                                                                                                        f ( p)
f (t ) =   ∫ S (ω )e       dω =      ∫ ⎢ S ( jω )e      + S (−ω )e        ⎥⎦ dω =                                 f (t )                                  p = jω
      2π − ∞                    2π 0 ⎣
                                                                                  (10.49)                                                                             Спектральная
                                                                                                                                                        S f ( jω )
   1 ∞⎡          jω t     *        − jω t ⎤                                                                                              F                             плотность
=    ∫ S ( jω )e      + S ( jω ) e        ⎥⎦ dω .
  2π 0 ⎢⎣                                                                                                                                L              y ( p)        Изображение
                                                                                                                  y (t )                                  p = jω
                                                                                              jψ s (ω )
      Записав спектральную плотность в форме S (ω ) = S (ω )e                                                                                                       Спектральная
                                                                                                                                                        S y ( jω )
и подставляя это выражение в (10.49), получим                                                                                            F                           плотность
                                           1
                                                 ∞                                                         Дифференци-                              При нулевых     Передаточная
                               f (t ) =
                                           π     ∫ S (ω ) cos (ω t + ψ s ) dω .              (10.50)          альное                             начальных услови- характеристика
                                                 0                                                          уравнение                    L                ях
                                                                                                                  µ
                                                                                                                 d y                                  K ( p)        Комплексная
                                                                                                          ∑ aµ             = f (t )                     p = jω        частотная
                                                                                                          µ      dt µ
                                                                                                                                         F                         характеристика
                                                                                                                                                      K ( jω )



                                                        79                                                                                         80