Применение метода, упрощающего обратное преобразование Лапласа при исследовании динамики колебательных систем. Золотарев И.Д. - 34 стр.

Таким образом, по изображению функции времени путем замены                                          Здесь и ниже берутся главные, по Коши, значения интегра-
p на jω может быть найден ее спектр, и наоборот, путем замены                                 лов, т.е. интегралы ищутся при равном (симметричном) стремле-
 jω на p может быть найдено изображение функции времени.                                      нии к верхнему и нижнему пределам.
      Обратимся теперь к записи (5.4) связи между изображения-                                      Любая вещественная функция может быть представлена
ми входного и выходного сигнала через передаточную функцию                                    единственным образом суммой четных и нечетных составляю-
системы                                                                                       щих*:
                                                                                                                             f (t) = fчет(t) + fнеч(t) , (10.14)
                        y ( p) = K ( p) f ( p) .
                                                                                                    где fчет(t) = fчет(−t) , fнеч(t) = − fнеч(t)         (10.15)
Заменяя теперь формально p на jω , получим
                                                                                              – условия четности и нечетности составляющих.
                                          .
                             S y ( jω ) = K ( jω ) S f ( jω ) .                     (10.12)         Четные и нечетные составляющие исходной функции опре-
                                                                                              делены формулами
Таким образом, путем замены в изображающем уравнении (5.4) p                                                           f (t ) + f ( −t )                          f (t ) − f ( −t )
на jω сразу получаем связь между спектрами входного и выход-                                           fчет (t ) =                       ,         f неч (t ) =                     .       (10.16)
                                                                                                                               2                                          2
ного сигналов через частотную характеристику системы.                                                Подставляя (10.14) в (10.13), получаем
                                                                                                           ∞                                 ∞
 10.2.2. Некоторые ограничения перехода изображение – спек-
  тральная плотность сигнала путем подстановки p ↔ jω
                                                                                                S (ω ) =   ∫    f чет (t ) cos ω t dt − j    ∫ f неч (t ) sin ω t dt = M (ω ) − jN (ω ) ,   (10.17)
                                                                                                           −∞                                −∞

      При рассмотрении сигналов, описываемых разрывными (син-                                                    ∞                                           ∞

гулярными) функциями, операция перехода изображение – спек-                                   где M (ω ) =       ∫ f чет cos ω t dt ,             N (ω ) =   ∫ f неч (t ) sin ω t dt .      (10.18)
                                                                                                                −∞                                           −∞
тральная плотность заменой p ↔ jω требует определенной ак-
                                                                                                     Из формулы (10.18) следует, что вещественная составляю-
куратности. Сразу отметим, что физическое формирование таких                                  щая         определяется только четной составляющей сигнала
                                                                                                     M (ω )
сигналов невозможно. Спектры таких сигналов простираются до
бесконечно больших частот и для получения таких сигналов по-                                  fчет (t) ; мнимая составляющая спектра N (ω ) определяется только
требовалось бы иметь систему, обладающую бесконечно широкой                                   нечетной составляющей сигнала fнеч(t) .
полосой пропускания, что физически нереализуемо. Однако при-                                         Из (10.18) также следует, что
менение описания математических моделей реальных сигналов                                                         M (ω ) = M ( −ω ) , − N (ω ) = N ( −ω ) , (10.19)
через типовые разрывные функции оказывается очень удобным и                                   т.е. для вещественной функции времени f (t ) вещественная состав-
широко используется при выполнении исследований сигналов и
цепей.                                                                                        ляющая спектра ее M (ω ) является четной функцией частоты, а мни-
      Для иллюстрации сказанного обратимся вначале к опреде-                                  мая составляющая спектра N (ω ) – нечетной функцией частоты.
лению спектральной плотности через операцию ППФ (9.16), кото-
рое перепишем в виде                                                                             *
                                                                                                   Здесь имеются в виду регулярные («гладкие») функции вплоть до сингуляр-
                     ∞                           ∞
                                                                                              ности первого порядка (разрыв первого рода), которая описывается функцией
                     ∫ f (t ) e                  ∫ f (t )[cos ωt − j sin ωt ]dt .
                                  − jωt
          S (ω ) =                        dt =                                      (10.13)   скачка. Сингулярности более высокого порядка (δ(t), dδ (t ) , d 2δ (t ) и т.д.) требу-
                     −∞                          −∞                                                                                                                        dt       dt 2
                                                                                              ют специального рассмотрения, выполняемого в рамках теории обобщенных
                                                                                              функций (теории распределений) [30].

                                                 67                                                                                                 68