ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
51
Воспользовавшись формулой обращения (7.7) найдем искомые
импульсную и переходную характеристики параллельного колеба-
тельного контура:
()
),()cossin(
)(
)()(
ttt
C
t
Cj
j
Cj
j
tg
t
tjtj
и
e
ee
1
1
2
2
2
2
000
0
0
0
0
0
0
0
ωωωα
ω
ω
αωα
ω
αωα
α
ωαωα
+=
=
⎥
⎦
⎤
−
+−−
+
⎢
⎣
⎡
++−
=
−
−−+−
(8.35)
()
t
jj
j
jj
j
C
th
p
tjtj
и
ee 1
2
2
2
2
2
1
2
0
00
0
0
00
0
⎥
⎦
⎤
+
−−−
+−−
+
⎢
⎣
⎡
+−
++−
=
+−+−
ω
α
ωαω
αωα
ωαω
αωα
ωαωα
)()(
)()(
)(
.
Последнее соотношение может быть преобразовано к более удоб-
ному виду:
)(cossin)( ttt
C
th
t
p
и
e 122
1
00
0
2
0
2
2
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+
−=
−
ωαω
ω
ωα
α
ω
α
. (8.36)
Из рассмотренных выше примеров следует вывод: поиск
оригиналов по заданной изображающей функции резко усложня-
ется, если необходимо осуществлять переход для функции, содер-
жащей комплексно-сопряженные полюсы, наличие которых сви-
детельствует о колебательности в реакции системы на возбуж-
дающий сигнал.
9. ПРИМЕНЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ
ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ФУРЬЕ
ДЛЯ АНАЛИЗА ПРОХОЖДЕНИЯ СИГНАЛОВ
ЧЕРЕЗ ИССЛЕДУЕМЫЙ ТРАКТ
Важное значение спектрального метода в радиоэлектронике
обусловило широкое освещение его в научной, инженерной и
учебно-методической литературе. Основополагающей в этом на-
правлении явилась работа А.А. Харкевича [26], в которой доста-
точно полно изложен материал по спектральному методу и его
приложениях в радиоэлектронике.
52
9.1. Ряд Фурье
Рассмотрим периодическую функцию
)()( nTtftf
+
=
, (9.1)
где T – наименьший период, n – любое целое число, включая нуль.
Ряд Фурье в тригонометрической форме для такой функции имеет
вид
)
2
sin
2
cos()(
1
0
T
k
b
T
k
actf
k
k
k
ππ
++=
∑
∞
=
, (9.2)
где среднее значение за период (постоянная составляющая) равно
()
∫
−
=
2
2
0
1
T
T
dttf
T
c , (9.3)
коэффициенты a
k
и b
k
определяются формулами
∫∫
−−
==
2
2
2
2
,
2
sin)(
2
,
2
cos)(
2
T
T
k
T
T
k
tdt
T
k
tf
T
btdt
T
k
tf
T
a
ππ
(9.4)
Заметим, что из (9.4):
kk
aa
−
=
,
kk
bb
−
−
=
. Формула (9.2) для ряда
Фурье путем простых преобразований может быть приведена к
виду
()
∑
∞
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−+=
1
0
2
cos
k
kk
t
T
k
cctf
ϕ
π
, (9.5)
k
k
kkkk
a
b
arctgbac =+=
ϕ
,
22
, (9.6)
откуда следует, что
kkkk
cc
−−
−==
ϕϕ
, .
Формулы (9.5) и (9.6) получили, полагая в (9.2)
kkkkkk
cbca
ϕϕ
sin,cos == , (9.7)
Воспользовавшись формулой обращения (7.7) найдем искомые 9.1. Ряд Фурье
импульсную и переходную характеристики параллельного колеба-
тельного контура: Рассмотрим периодическую функцию
⎡ − α + jω 0 + 2α ( −α + jω 0 )t − α − jω 0 + 2α ( −α − jω 0 )t ⎤ f (t ) = f (t + nT ) , (9.1)
g и (t ) = ⎢ e + e ⎥1(t ) = где T – наименьший период, n – любое целое число, включая нуль.
⎣ 2 jω 0 C − 2 jω 0 C ⎦
(8.35) Ряд Фурье в тригонометрической форме для такой функции имеет
e −α t вид
= (α sin ω 0t + ω 0 cosω 0t )1(t ),
ω 0C ∞ 2πk 2πk
f (t ) = c0 + ∑ ( ak cos + bk sin ), (9.2)
1 ⎡ −α + jω0 + 2α (−α + jω0 )t −α − jω0 + 2α (−α + jω0 )t 2α ⎤ T T
h (t ) = ⎢ e + e + 2 ⎥1(t ) . k =1
и C ⎣ 2 jω0 (−α + jω0 ) − 2 jω0 (−α − jω0 ) ωp ⎦ где среднее значение за период (постоянная составляющая) равно
T
2
Последнее соотношение может быть преобразовано к более удоб- 1
f (t )dt ,
T ∫T
c0 = (9.3)
ному виду:
−
1 ⎡ ⎛ α 2 + ω 02 ⎞⎤
hи (t ) = 2 ⎢2α − e −α t ⎜⎜
2
sin ω 0t + 2α cosω 0t ⎟⎟⎥1(t ) . (8.36)
ω p C ⎢⎣ ⎝ ω0 ⎠⎥⎦ коэффициенты ak и bk определяются формулами
T T
Из рассмотренных выше примеров следует вывод: поиск 2 2 2πk 2 2 2πk
T ∫T T ∫T
оригиналов по заданной изображающей функции резко усложня- ak = f (t ) cos tdt , bk = f (t ) sin tdt , (9.4)
T T
ется, если необходимо осуществлять переход для функции, содер- − −
2 2
жащей комплексно-сопряженные полюсы, наличие которых сви-
детельствует о колебательности в реакции системы на возбуж- Заметим, что из (9.4): ak = a − k , bk = −b− k . Формула (9.2) для ряда
дающий сигнал. Фурье путем простых преобразований может быть приведена к
виду
9. ПРИМЕНЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ∞
⎛ 2πk ⎞
ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ФУРЬЕ f (t ) = c0 + ∑ ck cos⎜ t − ϕk ⎟ , (9.5)
k =1 ⎝ T ⎠
ДЛЯ АНАЛИЗА ПРОХОЖДЕНИЯ СИГНАЛОВ
ЧЕРЕЗ ИССЛЕДУЕМЫЙ ТРАКТ bk
ck = ak2 + bk2 , ϕ k = arctg , (9.6)
ak
Важное значение спектрального метода в радиоэлектронике
откуда следует, что ck = c − k , ϕ k = −ϕ − k .
обусловило широкое освещение его в научной, инженерной и
учебно-методической литературе. Основополагающей в этом на- Формулы (9.5) и (9.6) получили, полагая в (9.2)
правлении явилась работа А.А. Харкевича [26], в которой доста- ak = ck cos ϕ k , bk = ck sin ϕ k , (9.7)
точно полно изложен материал по спектральному методу и его
приложениях в радиоэлектронике.
51 52
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 24
- 25
- 26
- 27
- 28
- …
- следующая ›
- последняя »
