ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
85
Из (11.3)
)()()( pVpppW
ν
−= . (11.4)
Обратимся теперь к формуле обращения (7.7)
*
:
∑
=
′
=
r
tp
te
p
pF
ty
1
)(1
)(Q
)(
)(
ν
ν
ν
ν
.
Продифференцируем
)(Q p , тогда из (11.3) имеем для веществен-
ных полюсов ИФ
)()()()(Q pWpppWp
′
−+
=
′
ν
, (11.5)
для комплексно-сопряженных полюсов ИФ
)())(()()()()()(Q
**
pVpppppVpppVppp
′
−−+−+−=
′
νννν
. (11.6)
Подставляя в (11.5) и (11.6) значения полюса
ν
p , получим соот-
ветственно для вещественного и КСП
)()(
νν
pWp =
′
Q , (11.7)
)(2)(Q
ννν
ω
pVjp =
′
. (11.8)
Если учесть (11.4), то (11.7) перейдёт в (11.8). Будем пользоваться
для КСП представлением
)(
ν
pQ
′
в форме (11.8), а для веществен-
ных полюсов – в форме (11.7). Тогда формулу обращения пред-
ставим в виде
∑∑ ∑
== +=
=
=
=
′
+
′
+
′
=
2
1
2
11
Q
Q
Q
//
*
*
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
*
mm r
m
tp
pp
tp
pp
tp
pp
e
p
pF
e
p
pF
e
p
pF
ty
νν ν
νν
ν
ν
ν
ν
ν
ν
ν
. (11.9)
Очевидно, вторая сумма является комплексно-сопряженной с пер-
вой суммой. Это позволяет записать
∑∑
+=
=
=
=
′
+
′
=
r
m
tp
pp
m
tp
pp
e
p
pF
e
p
pF
ty
1
2
QQ
2
1
ν
ν
ν
ν
ν
ν
ν
ν
)(
)(
)(
)(
)(
/
. (11.10)
*
Как уже отмечалось, множитель 1(t) в формуле обращения (7.7) отражает
тот факт, что при использовании операционного исчисления в обычной форме
при выполнении ППЛ отсекаются значения f (t) при t<0. Соответственно в силу
принципа каузальности (причинности) отклик y(t) также должен быть равен нулю
при t < 0. В силу очевидности данного положения множитель 1(t
) в формулах
обращения в дальнейшем будем, как правило, опускать.
86
Вещественный сигнал )(ty ищем, выполняя символические
операции взятия вещественной или мнимой частей комплексного
сигнала
)(ty
, т.е.
{
}
{
}
)(Im)(Re)( tyjtyty
=
=
. (11.11)
Подставим теперь в (11.10) значения производных
)
ν
pp
p
=
′
(Q
из (11.7) и (11.8). Получимν
∑∑
=+=
+=
2
11
/
)(
)(
)(
)(
)(
mr
m
tptp
e
pW
pF
e
pVj
pF
ty
νν
ν
νν
ν
ν
ννν
ν
ω
. (11.12)
Это и есть расчетная формула, существенно упрощающая
выполнение ОПЛ для колебательных процессов. Согласно данной
формуле для комплексно-сопряженных полюсов вычеты берутся
для одного из каждой пары КСП (только одна сумма вместо двух
в формуле (11.9)). Вычеты в вещественных полюсах берутся
обычным образом.
Поскольку при выводе формулы (11.12) пользовались пред-
ставлением знаменателя
)(Q p изображающей ДРФ в форме
∏∏
+==
−−−=
τ
ν
ν
ν
νν
1
2
1 m
m
ppppppp )())(()(Q
/
*
,
для которого коэффициент при старшем члене
r
p ,
т.е. при члене
полинома
)(Q p с высшей степенью, равен единице. Необходимо
обеспечить выполнение этого условия во избежание ошибки при
определении знаменателя
)(Q p ИФ. Это всегда можно сделать,
вынеся коэффициент при старшем члене
r
p в качестве сомножи-
теля перед полиномом
)(Q p . Так, если в исходном представлении
ИФ в знаменателе ее имеем
r
ap , где a – коэффициент при стар-
шем члене, то, переписав ИФ в форме
)(Q/)( ppFa ⋅
−1
, обеспечива-
ем коэффициент при старшем члене знаменателя
)(Q p равный
единице.
Продуктивность метода, упрощающего ОПЛ для колеба-
тельных переходных процессов, который приводит к формуле об-
ращения (11.12), лучше всего проиллюстрировать на примерах.
Из (11.3) Вещественный сигнал y (t ) ищем, выполняя символические
W ( p ) = ( p − pν )V ( p) . (11.4) операции взятия вещественной или мнимой частей комплексного
* сигнала y (t ) , т.е.
Обратимся теперь к формуле обращения (7.7) :
r y (t ) = Re{y (t )} = Im{ jy (t )} . (11.11)
F( p )
y (t ) = ∑ Q′( pνν ) e pν t 1(t ) . Подставим теперь в (11.10) значения производных Q′( p p = p )
ν
ν =1
Продифференцируем Q( p) , тогда из (11.3) имеем для веществен- из (11.7) и (11.8). Получимν
m/2 F ( pν ) p t
r F ( pν ) pν t
ных полюсов ИФ y (t ) = ∑ e ν + ∑ e . (11.12)
Q′( p ) = W ( p ) + ( p − pν )W ′( p ) , (11.5) ν =1 jων Vν ( pν ) ν = m +1 Wν ( pν )
для комплексно-сопряженных полюсов ИФ Это и есть расчетная формула, существенно упрощающая
Q′( p ) = ( p − pν* )V ( p ) + ( p − pν )V ( p ) + ( p − pν )( p − pν* )V ′( p ) . (11.6) выполнение ОПЛ для колебательных процессов. Согласно данной
формуле для комплексно-сопряженных полюсов вычеты берутся
Подставляя в (11.5) и (11.6) значения полюса pν , получим соот- для одного из каждой пары КСП (только одна сумма вместо двух
ветственно для вещественного и КСП в формуле (11.9)). Вычеты в вещественных полюсах берутся
Q′( pν ) = W ( pν ) , (11.7) обычным образом.
Q′( pν ) = 2 jων V ( pν ) .
(11.8) Поскольку при выводе формулы (11.12) пользовались пред-
Если учесть (11.4), то (11.7) перейдёт в (11.8). Будем пользоваться ставлением знаменателя Q( p) изображающей ДРФ в форме
для КСП представлением Q′( pν ) в форме (11.8), а для веществен- m/2 τ
Q( p) = ∏ ( p − pν )( p − pν* ) ∏ ( p − pν ) ,
ных полюсов – в форме (11.7). Тогда формулу обращения пред- ν =1 ν = m +1
ставим в виде для которого коэффициент при старшем члене p r , т.е. при члене
m/ 2 F( p )
ν pν t
m/ 2 F ( pν* ) pν* t r F ( pν ) pν t полинома Q( p ) с высшей степенью, равен единице. Необходимо
y (t ) = ∑ e + ∑ e + ∑ e . (11.9)
ν =1 Q′( p p= p ) ν =1 Q′( p ) ν =m+1 Q′( p p= p ) обеспечить выполнение этого условия во избежание ошибки при
ν
p= p*ν ν
определении знаменателя Q( p ) ИФ. Это всегда можно сделать,
Очевидно, вторая сумма является комплексно-сопряженной с пер-
вынеся коэффициент при старшем члене p r в качестве сомножи-
вой суммой. Это позволяет записать
m/2 F ( pν ) r F ( pν ) теля перед полиномом Q( p) . Так, если в исходном представлении
pν t pν t
y (t ) = 2 ∑ e + ∑ e . (11.10)
ν =1 Q′( p p = p ) ν = m +1 Q′( p p = p ) ИФ в знаменателе ее имеем ap r , где a – коэффициент при стар-
ν ν
шем члене, то, переписав ИФ в форме a −1 ⋅ F ( p ) / Q( p) , обеспечива-
ем коэффициент при старшем члене знаменателя Q( p) равный
единице.
*
Как уже отмечалось, множитель 1(t) в формуле обращения (7.7) отражает Продуктивность метода, упрощающего ОПЛ для колеба-
тот факт, что при использовании операционного исчисления в обычной форме тельных переходных процессов, который приводит к формуле об-
при выполнении ППЛ отсекаются значения f (t) при t<0. Соответственно в силу ращения (11.12), лучше всего проиллюстрировать на примерах.
принципа каузальности (причинности) отклик y(t) также должен быть равен нулю
при t < 0. В силу очевидности данного положения множитель 1(t) в формулах
обращения в дальнейшем будем, как правило, опускать.
85 86
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 41
- 42
- 43
- 44
- 45
- …
- следующая ›
- последняя »
