Применение метода, упрощающего обратное преобразование Лапласа при исследовании динамики колебательных систем. Золотарев И.Д. - 44 стр.

       11.3. Примеры применения формулы обращения,                 Для перехода к оригиналу теперь воспользуемся формулой
                     упрощающей ОПЛ                                (11.12), упрощающей ОПЛ:
                                                                                               m/2    F ( pν )                   r   F ( pν )
                                                                                 u (t )вых =
                                                                                                                     p t                         p t
      Ниже приведены примеры решения задач на нахождение                                       ∑                    e ν +        ∑              e ν ,
имеющего колебательный характер переходного процесса в ли-                                     ν =1 jων Vν ( pν )           ν = m +1Wν ( pν )
нейных электронных цепях для тех же условий, что и в гл. 8. Но в   где первая сумма находится для одного из каждой пары КСП
гл. 8 для перехода от изображающей функции к оригиналу ис-         (возьмем полюсы в верхней полуплоскости комплексного пере-
пользуется формула обращения в обычном виде (7.7). Здесь же        менного p, число их равно m/2), вторая сумма берется для каждого
для определения реакции заданной цепи на импульсное возбуж-        из вещественных полюсов, число которых равно r–m , r – общее
дение применена формула обращения в виде (11.12), что позволя-     число полюсов изображающей функции. Функции Vν(p) и Wν(p)
ет значительно упростить при исследовании ППР наиболее трудо-      определены формулами (11.4), согласно которым равны
емкую часть работы – обратное преобразование Лапласа. Сопос-               Vν ( p) = Q( p) /( p − pν )( p − pν* ) , Wν ( p) = Q( p) /( p − pν ) .
тавление хода получения решения обоими путями показывает, что
                                                                   Искомый вещественный сигнал находим взятием вещественной
даже для рассмотренных относительно простых ИФ существенно
                                                                   или мнимой частей соотношения (11.12) в соответствии с симво-
сокращаются трудоемкость и громоздкость преобразований при
                                                                   лической записью (11.11) этой операции:
                                                                                      u k (t ) = Re {u k (t )}= Im{ju k (t )}.
использовании формулы (11.12) по сравнению с обычной форму-
лой обращения (7.7) (для рассмотренных в примерах простых ИФ
аналитические решения, требующие при применении формулы            ИФ в данном примере имеет две пары КСП. Следовательно, в фор-
обращения (7.7) громоздких преобразований, при небольшом на-       муле перехода из пространства изображений в пространство ориги-
выке пользования формулой перехода (11.12) могут быть получе-      налов (11.12) имеем два члена первой суммы для полюсов p1 и p3.
ны в уме).                                                              Функцию F ( p ) определим, как и ранее:
                                                                                                          A0
      Пример 1. Найти напряжение на параллельном колебатель-                                   F ( p) =      ( p sinψ + ω н cosψ )( p + 2α ) .
                                                                                                          C
ном контуре при включении на него источника тока в форме ра-            Функция V(p) зависит от того, для какого из КСП ищем член
диоскачка. Cчитать начальные условия нулевыми (нулевые на-         первой суммы формулы (11.12). А именно в соответствии с фор-
чальные запасы энергии в контуре).                                 мулой (11.4) функция Vν(p) находится путем отбрасывания в зна-
      Решение. Эта задача была решена (пример 1, гл. 8) с при-     менателе дробно-рациональной ИФ одного из сомножителей в
менением формулы обращения (7.7). Найденная в гл. 8 изобра-
жающая функция для искомой реакции контура имеет вид (фор-                                                                   (
                                                                   форме квадратного трехчлена ( p − pν ) p − pν* . При этом pν и pν*  )
мула (7.6)):                                                       – именно та пара КСП, вычет (член суммы в (11.12)) для одного из
                           1 p sinψ + ω н cosψ     p + 2α          которых ищется. Так как из (8.4) знаменатель Q( p) изображаю-
             u ( p )k = A0                     = 2             ,   щей функции uk (p) определяется соотношением
                           C      p + ωн
                                   2     2
                                                p + 2αp + ω р2
полюсами которой являются p1, 2 = ± jω н ,   p3, 4 = −α ± jω 0 .                                Q( p ) = ( p 2 + ω н2 )( p 2 + 2αp + ω 2p ) ,

                                                                   то при нахождении функции Vν(p) для полюсов p1 и p2= p1* от-
                                                                   брасываем в Q( p) сомножитель p 2 + ω н2 = ( p − jω н )( p + jω н ) , т.е. в
                                                                   этом случае

                                 87                                                                                 88