Применение метода, упрощающего обратное преобразование Лапласа при исследовании динамики колебательных систем. Золотарев И.Д. - 46 стр.

напряжение на входе цепи и ищем напряжение на выходе, то, что-                    более наглядным. Формула перехода (11.12) дает в общем случае
бы найти КА вынужденной составляющей реакции схемы, внача-                        комплексные члены, которые на комплексной плоскости могут
ле находим по закону Ома КА тока, протекающего через элемент                      быть представлены вращающимися векторами, проекции которых
схемы, с которого снимается сигнал, а затем, воспользовавшись                     на соответствующую ось проекций дают соответствующие веще-
законом Ома в форме (11.17), находим КА ВСПП (такая задача                        ственные сигналы – свободную и вынужденную составляющие
возникает в часто применяемом схемном построении вида потен-                      ППР. Здесь имеем аналог векторного представления на комплекс-
циометрического делителя). Примеры решения задач на нахожде-                      ной плоскости синусоидального сигнала, широко используемого
ние ППР, когда используется безразмерная частотная характе-                       для обеспечения наглядности и удобства расчета цепей перемен-
ристика K ( jω н ) , приведены ниже.                                              ного тока символическим методом (методом комплексных ампли-
      Комплексная амплитуда свободной составляющей ППР в                          туд). Представление ППР для напряжения на параллельном коле-
соответствии с (11.16) определяется соотношением                                  бательном контуре при включении на контур источника тока в
            A [(− α + jω 0 )sinψ + ω н cosψ ](α + jω 0 )
                                                                                  форме радиоскачка может иллюстрироваться на комплексной
   U m св = 0 ⋅                                          = U тсв e jγ . (11.19)   плоскости в виде суммы двух векторов вынужденного и свобод-
           ω 0C           (−α + jω 0 ) + ω н
                                      2    2
                                                                                  ного составляющего ППР (формула (11.16)). Если оси проекций
       Сопоставлял полученное здесь для реакции параллельного                     вращаются с угловой скоростью ωн, то вектор ВСПП на комплек-
колебательного контура на радиоскачок выражение (11.16) с ранее                   сной плоскости стоит неподвижно, а затухающий вектор ССПП
найденной формулой (8.9), замечаем, что первый член (11.16) сов-                  вращается вокруг конца вектора ССПП с угловой скоростью
падает с удвоенным значением первого члена (8.9) (это ВСПП);                      Ω = ω н − ω 0 , описывая логарифмическую спираль. Эта спираль
второй член (11.16) совпадает с умноженным на два значением                       является годографом вектора результирующего сигнала, снимае-
третьего члена (8.12) (это ССПП). Очевидно, то же касается совпа-                 мого с параллельного колебательного контура [5,11]. Очевидно, с
дения КА свободной составляющей переходного процесса (фор-                        ростом времени сигнал, снимаемый с контура, стремится к ВСПП.
мула (11.19)) с умноженным на два значением дроби в третьем                             Обращаясь к выражению (11.16), определим вещественный
члене формулы (8.9).                                                              сигнал, снимаемый с параллельного колебательного контура в
       Умножение соответствующих членов формулы (8.9) на два                      форме
связано с тем, что в (8.9) вещественный сигнал находится сумми-
рованием первого и второго, третьего и четвертого комплексно-                                       { }                 (       )
                                                                                          uk (t ) = Im uk (t ) = Um вын sin ωнt + β +U m свe−α t sin(ω0 + γ ) , (11.20)
сопряженных членов. В случае же пользования формулой (11.15)                      где амплитуда колебаний, Um вын и Um св и их начальные фазы β
вещественный сигнал находим операцией взятия вещественной
                                                                                  и γ находятся из соотношений (11.18) и (11.19).
части функции u k (t ) . Получение одного и того же результата в
                                                                                        Это искомый результат. Заметим, что получение выражения
обоих случаях достигается удвоением величины членов в формуле
                                                                                  для uk (t ) в форме (11.20) из ранее найденной формулы (8.9) по-
обращения (11.10) и, как результат, в (11.16) относительно вели-
чины соответствующих (первого и третьего) членов (8.9).                           требовало бы дополнительных довольно громоздких преобразова-
       Указанное совпадение соответствующих членов формул                         ний. При этом следует иметь в виду, что получение решения в ви-
(8.9) и (11.16) показывает, что и вещественный сигнал, найденный                  де (8.15) оказалось существенно более трудным, чем комплексно-
обоими путями, совпадает, но во втором случае (при пользовании                    го сигнала в виде (11.16). Упрощение нахождения решения в фор-
формулой (11.12), упрощающей переход от ИФ к оригиналу) объ-                      ме (11.16) достигается применением формулы (11.12) модифици-
ем преобразований существенно меньше, а результат получается                      рованного ОПЛ, предложенной в [5–7].


                                      91                                                                                92