Применение метода, упрощающего обратное преобразование Лапласа при исследовании динамики колебательных систем. Золотарев И.Д. - 48 стр.

откуда сразу получаем                                                                                                        ⎡                         α 2 − ω02 1             ⎤
                                        e   −α t                                                                   hu (t ) = ⎢ r − e −α t ( r cosω0t +             sin ω 0 t ) ⎥1(t ) .      (11.26)
          g u (t ) = Re{ g u (t )} =               (ω 0 cos ω 0t + α sin ω 0t ) 1(t ) .   (11.22)                            ⎢⎣                           ω 2p ω0C             ⎥⎦
                             ω 0C
                                                                                                       Первый член квадратной скобки здесь определяет ВСПП, второй
По определению импульсной реакции изображающая функция для
                                                                                                       член – ССПП.
нее равна системной функции K ( p) (для данного примера
K ( p) = z ( p) ). Отсюда импульсная реакция равна вычетам в сво-                                            Пример 3. Определить импульсную и переходную характе-
бодных полюсах подынтегральной функции K(p), т.е. является                                             ристики тока в последовательном колебательном контуре (рис.
ССПП.                                                                                                  8.4).
       ИФ переходной характеристики в соответствии с (8.34) име-                                             Решение. Данная задача уже решалась в примере 7, гл. 8 на
ет три полюса: p1,2 = −α ± jω0 и p3 = 0 . Воспользуемся формулой                                       основе применения формулы обращения в форме (7.7). Решим эту
перехода (11.12). Для этого учтем, что                                                                 же задачу, применив формулу обращения в виде (11.12), упро-
                   1                                                                                   щающую ОПЛ. Изображение импульсной и переходной характе-
        F ( p) =     ( p + 2α ), Q(p) = p(p - pv )(p - p*v ) = p(p 2 + 2αp + ω 2p ) .                  ристик тока в последовательном колебательном контуре опреде-
                   C
Тогда из (8.34) получаем выражение комплексной переходной ха-                                          ляется ранее найденными формулами (8.29):
рактеристики:                                                                                                gi ( p) = p[ L( p 2 + 2αp + ω 2p )]−1, hi ( p ) = [ L( p 2 + 2αp + ω 2p )]−1 .

                               1 ⎛⎜ − α + jω 0 + 2α (α + jω 0 )t 2α ⎞⎟                                 Отсюда функции Fg ( p ) =
                                                                                                                                         p              1
                                                                                                                                           , Fh ( p) = , знаменатель
                   hu (t ) =                         e          + 2 1(t ) .               (11.23)
                               C ⎜ jω 0 (−α + jω 0 )             ωp ⎟                                                                    L              L
                                  ⎝                                  ⎠
                                                                                                       Qg ( p ) = Q h (p) = Q(p) = p 2 + 2αp + ω 2p , что дает полюса для обеих ИФ:
Выражение (11.23) преобразуем к виду
                       1 ⎛ 2α j (α + jω 0 ) ( −α + jω 0 )t ⎞⎟                                                                    p 1, 2 = − α ± j ω 0 ,         ω0 =       ω 2p − α 2 .
                                              2

              hu (t ) = ⎜ 2 +                    e           1(t ) .                      (11.24)
                       C ⎜ ω р ω 0 (ω 02 + α 2 )            ⎟                                                Для перехода от ИФ к оригиналу по формуле (11.12) имеем
                                    ⎝                                         ⎠
Принимая                            во                     внимание,           что                     для обеих ИФ
ω 02 + α 2 = ω 2р , (α + jω 0 ) 2 = α 2 + 2α jω 0 − ω 02 , найдем вещественную пе-                           V ( p ) = Q(p)[(p - p1 )(p - p2 )]−1 = 1 . Тогда для комплексных им-
                                                                                                       пульсной и переходной характеристик получаем выражения
реходную характеристику
                                                                                                                                       −α + jω 0 ( −α + jω 0 ) t
                            1 ⎡                               α 2 − ω 02            ⎤                                        gi (t ) =            e              1(t ) ,   (11.27)
hu (t ) = Re{hu (t )} =           ⎢ 2α − e −α t (2α cosω 0t +            sin ω 0t ) ⎥1(t ) , (11.25)                                     jω 0 L
                          ω 2p C ⎢⎣                              ω0                 ⎥⎦                                                         1 (−α + jω 0 )t
                                                                                                                                 hi (t ) =          e          1(t ) ,                       (11.28)
которая совпадает с выражением для переходной характеристики                                                                                  jω0 L
(8.36), найденной в гл. 8 (пример 8). Но здесь формула (11.25) по-                                     из которых вещественные импульсная и переходная характери-
лучена при значительно меньшей трудоемкости преобразований.                                            стики определяются функциями
                       2α     2r     2rLC                                                                                                 1
       Учитывая, что 2 = 2         =      = r , соотношение (11.25)                                            gi (t ) = Re{gi (t )} =          e −α t (ω 0 cos ω 0t − α sin ω 0t )1(t ) ,   (11.29)
                     ω p C ω pC 2 L 2 LC                                                                                                 ω0 L
перепишем еще в одной форме:


                                                    95                                                                                                96