Применение метода, упрощающего обратное преобразование Лапласа при исследовании динамики колебательных систем. Золотарев И.Д. - 50 стр.

изображений находят положение нулей и полюсов для g ( p) , по-                                                 метода исследований переходных процессов в колебательных сис-
сле чего производят измерение модулей и углов разностных век-                                                  темах*.
торов между i-м полюсом и каждым из нулей и полюсов. В случае                                                  Изображение для f (t ) :
комплексно-сопряженных полюсов разностные вектора ищут по                                                                                                 ⎛ jψ        − jψ µ     ⎞
                                                                                                                                                     1 ⎜ e µ        e            ⎟
отклонению к одному из них, вводя дополнительный множитель                                                                            L{ f (t )} =    ∑           +              ⎟.                (11.33)
1 / jω i .                                                                                                                                           2 µ ⎜⎜ p − pµ p − p*µ       ⎟
                                                                                                                                                          ⎝                      ⎠
      Графическое построение на комплексной плоскости нулей и                                                  В комплексной форме возбуждающую функцию запишем как:
полюсов функции f ( p ) позволяет наглядно оценить влияние их                                                                               (
                                                                                                                                        α t j ω t +ψ   )
                                                                                                                                                      α t
                                                                                                                                                                      [ (             )
                                                                                                                f (t ) = 2 f1 (t ) = ∑ e µ e µ µ = ∑ e µ cos ω µ t + ψ µ + j sin ω µ t + ψ µ , (       )]
взаимного расположения на поведение реакции цепи. Однако гра-                                                                  µ                            µ
фические построения и измерения требуют кропотливой работы,                                                    откуда:
но не обеспечивают достаточно высокой точности.
      В ряде случаев удается несколько сократить математические
                                                                                                                                   f (t ) = f (t ) + jf€(t ),
                                                                                                                                                   f (t ) = Re f (t ) ,         { }
                                                                                                                                                                            (11.34)
преобразования, уменьшив число искомых вычетов на один, когда                                                      €
                                                                                                               где f (t ) – функция, сопряженная исходному сигналу f (t ) .
по крайней мере одна пара полюсов лежит на мнимой оси ком-                                                     Соответственно изображение для комплексной возбуждающей
плексной плоскости изображений. К этому случаю относится, в                                                    функции будет
частности, включение гармонического сигнала на исследуемую                                                                                                               jψ
                                                                                                                                                           €           e µ
цепь.                                                                                                                                 f ( p ) = f ( p ) + jf ( p ) = ∑        .                    (11.35)
      Иногда удается упростить выполнение обратного преобра-                                                                                                         µ p − pµ
зования Лапласа одновременным смещением всех полюсов изо-                                                      Изображение реакции системы на вещественный сигнал определя-
бражающей функции f ( p ) . Однако оба эти случая позволяют по-                                                ется соотношением вида
лучить заметный эффект лишь для весьма ограниченного числа                                                                                g ( p) = f ( p) K ( p) ,      (11.36)
представлений f ( p ) [3].                                                                                     где K ( p) – системная функция (передаточная характеристика сис-
      Первый случай соответствует комплексной форме представ-                                                  темы).
ления сигнала типа радиоскачка. Рассмотрим более общий случай                                                  Найдем изображение реакции g f ( p) при возбуждении системы
включения синусоидальных сигналов с экспоненциальными моду-
лирующими функциями.                                                                                           комплексным сигналом f (t ) :
                                                                                                                                                                                     €
                                                          j ⎛⎜ ω µ t +ψ µ ⎞⎟        − j ⎛⎜ ω µ t +ψ µ ⎞⎟                      g f ( p) = K ( p ) f ( p ) = K ( p ) f ( p ) + jK ( p) f ( p).
               αµt
    f (t ) = ∑ e        (             )
                     cos ω µ t +ψ µ = ∑ e
                                                αµt   e    ⎝              ⎠
                                                                               +e
                                                                               2
                                                                                       ⎝               ⎠
                                                                                                           =   Тогда, учитывая (11.36), находим
           µ                               µ
                                                                                                                                                                  {
                                                                                                                                                     g ( p) = Re g f ( p)   }                      (11.37)
                                                          [ ]
                            = f1 (t ) + f1* (t ) = 2 Re f1 (t ) .
                                                      (11.32)
                                                                                                               или, принимая во внимание свойство коммутативности преобразо-
      Ранее на основе формальных преобразований было получе-                                                   вания Лапласа и символических операций Re или Im [3], получим
но выражение (11.12), существенно упрощающее переход из про-
странства изображений в пространство оригиналов при исследо-                                                      *
                                                                                                                   Здесь для упрощения рассмотрены изображающие функции с простыми по-
вании колебательных процессов и систем. В данном параграфе                                                     люсами. Однако в проводимых рассуждениях не вводятся ограничения, связан-
дается наглядное обоснование и интерпретация предложенного                                                     ные с кратностью полюсов. Поэтому они приложимы и для изображающей
                                                                                                               функции с кратными полюсами [5, 7, 11].

                                               99                                                                                                           100