Применение метода, упрощающего обратное преобразование Лапласа при исследовании динамики колебательных систем. Золотарев И.Д. - 52 стр.

ной составляющих. Этот путь позволяет развить инженерную ме-                                       Полюсами функции g ( p) будут p1,2 = ± jω н и p3,4 = −α ± jω0 .
тодику расчета переходных процессов в радиосистемах, обеспечи-                                Тогда вынужденную составляющую реакции цепи ищем после
вающую существенное сокращение математических операций при                                    смещения полюса и изображения:
                                                                                                        {                           }
выполнении обратного преобразования Лапласа. В основу данного                                                                   1               p + jω н
                                                                                                                     − jω н t
метода положено то, что вместо нахождения вычетов в каждом из
пары сопряженных полюсов изображающей функции ищем вычет
                                                                                                     L g вын f (t )e          =
                                                                                                                                                [
                                                                                                                                p j ( p + jω ) + 2α ( p + jω )+ω 2
                                                                                                                                            н
                                                                                                                                              2
                                                                                                                                                            н    p
                                                                                                                                                                   ,
                                                                                                                                                                                           ]
относительно одного из этих полюсов.                                                          откуда, учитывая, что вычет в начале координат равен второму
      Дробь g ( p) , представленную выражением вида (11.1), мож-                              сомножителю, в котором следует положить p = 0, получаем выну-
но разложить на простые дроби, каждая из которых является изо-                                жденную составляющую
бражением некоторой комплексной функции. Тогда для определе-                                                                 jω н
                                                                                                                                        e jω н t .
ния импульсной реакции в комплексной форме g (t ) как суммы
                                                                                                            g    (t ) =
                                                                                                                      вын f
                                                                                                                                           (
                                                                                                                                      j ⋅ ( j ω н ) + 2α j ω н + ω 2p
                                                                                                                                                    2
                                                                                                                                                                        )
вычетов, определяемых в одном из каждой пары сопряженных по-                                  Аналогично свободную составляющую ищем из изображения
люсов, можно применить теорему транспозиции в комплексной
области, выполняя смещение полюса, вычет относительно которо-
                                                                                                            {
                                                                                                         L g св k (t ) e
                                                                                                                           (α − jω 0 ) t
                                                                                                                                           }= 1p ( p − α + ωjω ) + ω
                                                                                                                                                           н
                                                                                                                                                                   2    2
                                                                                                                                                                          − α + jω 0
                                                                                                                                                                             jω 0
                                                                                                                                                                                       ,
                                                                                                                                                               0        н
го определяется, к началу координат. Это обеспечивает дальней-
                                                                                              откуда
шее упрощение нахождения реакции g (t ) .                                                                                                      ωн
                                                                                                                                − α + jω 0
      В качестве иллюстрации изложенного рассмотрим пример                                                      g св k (t ) =                                 e(−α + jω 0 )⋅t .
                                                                                                                                   jω 0 (− α + jω 0 )2 + ω н2
определения реакции последовательного колебательного контура
на включение синусоидального гармонического сигнала (радио-                                   Окончательно реакция последовательного колебательного контура
скачка)                                                                                       определится в соответствии с (11.44)
                           f (t ) = 1(t ) sin ω н t.                                                             g (t ) = Re{g вын f (t ) + g св k (t )}.
      Изображение реакции для этого случая будет пропорцио-                                   Решение этой же задачи по формуле разложения потребовало бы
нально функции                                                                                значительно более громоздких математических преобразований.
                                                                                                    Показанный здесь путь позволяет получить в аналитической
                    ωн                      p               1 ⎡ 1                             форме точные выражения для переходных процессов при прохож-
     g ( p) =                                           =       ⎢          −
                p   2
                        + ω н2   p   2
                                         + 2αp + ω 2p       2 j ⎣ p − jω н                    дении радиосигналов через резонансные системы, что представля-
                  ⎤ ⎡ − α + jω 0                                   ⎤                          ет особый интерес для исследования современных радиоэлектрон-
            1                     1         − α − jω 0     1
     −            ⎥×⎢                     +                        ⎥,                         ных систем, в которых тонкая фазовая структура сигнала исполь-
         p + jω н ⎦ ⎣ 2 jω 0 p + α − jω 0    − 2 jω 0 p + α + jω 0 ⎦
                                                                                              зуется как носитель информации.
где α – коэффициент затухания контура, ω p – его резонансная

частота, ω 0 – частота собственных колебаний                                   ω 2p − α 2 .




                                                    103                                                                                             104