ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
101
[
]
{
}
[]
)(Re)(Re)(
1
tgpgLtg
ff
==
−
. (11.38)
Таким образом, для
)}()({)(
1
pfpKLtg
f
−
= имеем
{
}
)(Re)( tgtg
f
=
. (11.39)
Как следует из сравнения (11.33) и (11.35), каждой паре со-
пряженных полюсов в изображении вещественной возбуждающей
функции
)(tf соответствует по одному полюсу в изображении для
комплексного сигнала
)(tf
. Это позволяет при нахождении выну-
жденной составляющей
)(tg
вын
упростить выполнение обратного
преобразования Лапласа. Однако нетрудно убедиться, что опреде-
ление вычетов для свободной составляющей реакции
)(tg
св
здесь
не будет проще, а даже может существенно усложниться, в част-
ности, из-за нарушения сопряженности вычетов в «свободных»
полюсах функции
)(tg
f
. Значит, при таком подходе не обеспечи-
вается в общем случае эффективное снижение трудоемкости пере-
хода из пространства изображений в пространство оригиналов.
Между тем для отыскания оригинала по изображающей
функции с сопряженными парами полюсов, т.е. как раз для наибо-
лее трудоемкого случая, к которому зачастую приводит анализ
переходных процессов в
радиосистемах, существует возможность
значительного упрощения математических преобразований. Для
рассмотрения этой возможности вернемся к формуле (11.36), где,
учитывая равноправность
)( pf и )( pK , условно положим, что
импульсная реакция
)(tK является возбуждающей функцией фик-
тивной цепи
)( pf , и проведем рассуждения, подобные проводи-
мым выше при комплексном представлении возбуждающей функ-
ции
)(tf
.
Изображение импульсной реакции для физически реализуе-
мых систем в случае простых полюсов имеет вид
{}
.
*
2
1
)(
∑
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
+
−
=
−
λ
λ
λ
ψ
λ
λ
ψ
pp
e
pp
e
tKL
jj
(11.40)
102
Введем комплексную импульсную реакцию
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−
=
∑
−
λ
λ
λ
ψ
pp
LtK
j
e
1
)(
. (11.41)
Тогда изображение реакции фиктивной цепи
)( pf на комплексную
возбуждающую функцию
)(tK
будет таким:
)()()( pKpfpg
k
= . (11.42)
Принимая во внимание (11.36), запишем
)}(Re{)( pgpg
k
= , и сле-
довательно, реакция системы
)(tg на возбуждающую функцию
)(tK
определится соотношением
[
]
{
}
)(Re)(
1
pgLtg
k
−
= . (11.43)
Сопоставляя переход от изображения к оригиналу по формулам
(7.7) и (11.43), заметим, что в последнем случае вместо определе-
ния вычетов в каждом из «свободных» полюсов сопряженной па-
ры ищем вычеты в одном из полюсов этих пар. Поэтому для ком-
плексного представления
)(tK
, в противоположность ранее рас-
смотренному комплексному представлению возбуждающей функ-
ции
)(tf
, выполнение обратного преобразования Лапласа при оп-
ределении свободной составляющей реакции цепи обычно упро-
щается, и при этом трудоемкость математических операций при
нахождении вынужденной составляющей ее остается прежней.
Из изложенного выше, учитывая, что реакция цепи является
суммой вынужденной и свободной составляющих, т.е.
)()()( tgtgtg
сввын
+
=
, определим вынужденную составляющую при
возбуждении системы с передаточной функцией
)( pK комплекс-
ным сигналом
)(tf
, а свободную составляющую – при возбужде-
нии фиктивной цепи
)( pf комплексным представлением импульс-
ной реакции системы
)(tK
. Тогда из (11.40) и (11.43) получим
[
]
[
]
{
}
)()(Re)()(Re)(
1
pgpgLpgpgtg
kсвfвынkсвfвын
+=+=
−
. (11.44)
Определение реакции цепи при сопряженных парах полюсов
в изображении реакции обеспечивает упрощение математических
преобразований при нахождении как вынужденной, так и свобод-
{ [ ]} [ ]
g (t ) = L−1 Re g f ( p ) = Re g f (t ) . (11.38) Введем комплексную импульсную реакцию
⎧⎪ e jψ λ ⎫⎪
Таким образом, для g f (t ) = L−1{K ( p ) f ( p )} имеем K (t ) = L−1 ⎨∑ ⎬. (11.41)
⎪⎩ λ p − pλ ⎪⎭
{ }
g (t ) = Re g f (t ) . (11.39)
Как следует из сравнения (11.33) и (11.35), каждой паре со- Тогда изображение реакции фиктивной цепи f ( p) на комплексную
пряженных полюсов в изображении вещественной возбуждающей возбуждающую функцию K (t ) будет таким:
функции f (t ) соответствует по одному полюсу в изображении для g k ( p) = f ( p) K ( p) . (11.42)
комплексного сигнала f (t ) . Это позволяет при нахождении выну- Принимая во внимание (11.36), запишем g ( p) = Re{g k ( p)} , и сле-
жденной составляющей g вын (t ) упростить выполнение обратного довательно, реакция системы g (t ) на возбуждающую функцию
преобразования Лапласа. Однако нетрудно убедиться, что опреде-
K (t ) определится соотношением
ление вычетов для свободной составляющей реакции g св (t ) здесь
не будет проще, а даже может существенно усложниться, в част- { [
g (t ) = Re L−1 g k ( p) . ]} (11.43)
ности, из-за нарушения сопряженности вычетов в «свободных» Сопоставляя переход от изображения к оригиналу по формулам
полюсах функции g f (t ) . Значит, при таком подходе не обеспечи- (7.7) и (11.43), заметим, что в последнем случае вместо определе-
ния вычетов в каждом из «свободных» полюсов сопряженной па-
вается в общем случае эффективное снижение трудоемкости пере-
ры ищем вычеты в одном из полюсов этих пар. Поэтому для ком-
хода из пространства изображений в пространство оригиналов.
Между тем для отыскания оригинала по изображающей плексного представления K (t ) , в противоположность ранее рас-
функции с сопряженными парами полюсов, т.е. как раз для наибо- смотренному комплексному представлению возбуждающей функ-
лее трудоемкого случая, к которому зачастую приводит анализ ции f (t ) , выполнение обратного преобразования Лапласа при оп-
переходных процессов в радиосистемах, существует возможность ределении свободной составляющей реакции цепи обычно упро-
значительного упрощения математических преобразований. Для щается, и при этом трудоемкость математических операций при
рассмотрения этой возможности вернемся к формуле (11.36), где, нахождении вынужденной составляющей ее остается прежней.
учитывая равноправность f ( p) и K ( p) , условно положим, что Из изложенного выше, учитывая, что реакция цепи является
импульсная реакция K (t ) является возбуждающей функцией фик- суммой вынужденной и свободной составляющих, т.е.
g (t ) = g вын (t ) + g св (t ) , определим вынужденную составляющую при
тивной цепи f ( p) , и проведем рассуждения, подобные проводи-
возбуждении системы с передаточной функцией K ( p) комплекс-
мым выше при комплексном представлении возбуждающей функ-
ции f (t ) . ным сигналом f (t ) , а свободную составляющую – при возбужде-
Изображение импульсной реакции для физически реализуе- нии фиктивной цепи f ( p) комплексным представлением импульс-
мых систем в случае простых полюсов имеет вид ной реакции системы K (t ) . Тогда из (11.40) и (11.43) получим
jψ − jψ λ
1 ⎛ e λ ⎞
L{K (t )} = ∑ ⎜ +
e
2 λ ⎜ p − pλ p − pλ*
⎟.
⎟
(11.40) [ ] { [ ]}
g (t ) = Re g вын f ( p) + g св k ( p ) = Re L−1 g вын f ( p ) + g св k ( p) . (11.44)
⎝ ⎠
Определение реакции цепи при сопряженных парах полюсов
в изображении реакции обеспечивает упрощение математических
преобразований при нахождении как вынужденной, так и свобод-
101 102
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 49
- 50
- 51
- 52
- 53
- …
- следующая ›
- последняя »
