Применение метода, упрощающего обратное преобразование Лапласа при исследовании динамики колебательных систем. Золотарев И.Д. - 49 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОмГУ | Омск

Составители: 

Рубрика: 

97
tte
L
th
t
i
0
0
sin)(1
1
)(
ω
ω
α
−
= . (11.30)
Выражения (11.29) и (11.30) совпадают с формулами (8.30)
и (8.31) для импульсной и переходной характеристик, полученных
ранее применением формулы обращения в виде (7.7), но здесь ре-
шения получены сразу; для их нахождения фактически не потре-
бовались промежуточные преобразования.
Пример 4. Определить реакцию интегрирующей цепи на
радиоскачок
1(t) )(sin)(
ψω
+
=
tAtu
нвх
.
Решение. Данная задача уже решалась в примере 4, гл. 8
приложением формулы обращения (7.7). Получим решение при-
менением формулы перехода (11.12), упрощающей ОПЛ.
Изображающая функция для реакции цепи на радиоскачок
дана соотношением:
τ
ω
ψωψ
τ
1
1
cossin
)(
22
+
+
+
=
p
p
p
A
pu
н
н
вых
, (8.20)
для которой «вынужденные» полюсы
н
jp
ω
±
=
2,1
, «свободный»
полюс
τ
1
3
−=p .Числитель ИФ
)cossin()(
ψωψ
τ
н
p
A
pF +=
, знаме-
натель
)1/+)(p+(p=(p)
н
2
τω
2
Q . Тогда в соответствии с формулой
перехода (11.12) имеем
(
)
τ
/1
1
+= ppV ,
()
22
3
н
ppW
ω
+= .
Подставляя указанные функции в формулу перехода (11.12),
получим
()
)(1
)/1(
cossin/1
)/1(
cossin
/1
22
teje
j
jA
tu
н
н
t
н
j
нн
нн
вых
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+−
+−
+
+
+
=
−
τ
ω
ωτ
ψωψτ
τωω
ψωψω
τ
или после тривиальных преобразований
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+
+−
+
+
=
−
+
)(1
)(1
cossin
1
1
)(
/1
2
)(
teje
j
Atu
н
н
t
н
н
вых
τ
ψω
τω
ψτωψ
τω
(11.31) ),()(
)(
)(
cossin
)(
/
)(
tutu
tejAejAK
сввын
н
н
t
н
н
+=
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+
+−
+=
−
+
1
1
1
2
τ
ψω
τω
ψτωψ
ω
98
где ВСПП
)(tu
вых
определена первым членом, а ССПП –
)(tu
св
–
вторым членом в квадратной скобке полученной формулы. Веще-
ственную реакцию интегрирующей цепи на радиоскачок опреде-
ляем из (11.31) в соответствии с формулой перехода (11.12) как
{}
,)(
cossin
)sin()()(Im)(
/
tejKAtutu
н
н
ннвыхвых
1
1
1
22
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+
+−
++==
−
τ
τω
ψτωψ
βωω
)(arg
н
jK
ωψβ
+=
. (11.31а)
11.4. Обоснование метода, упрощающего обратное
преобразование Лапласа при исследовании динамических
колебательных режимов электронных схем
Операционное исчисление является основным инструмен-
том при исследовании динамических режимов радиоэлектронных
схем.
Однако, как уже отмечалось, существенным препятствием
при практическом использовании операционного метода для ис-
следования переходных процессов является трудоемкость выпол-
нения ОПЛ, особенно возрастающая при рассмотрении важного
для радиоэлектроники класса колебательных процессов и систем.
Одним из важных методов, упрощающих нахождение
реше-
ния в этом случае, нашедшим широкое приложение при исследо-
вании радиоэлектронных схем, является метод медленно меняю-
щихся амплитуд, разработанный С.И. Евтяновым [2]. Серьезным
недостатком этого метода является приближенность получаемых
решений, ограничивающих возможность применения данного ме-
тода для исследования современных РЭУ, использующих микро-
структуру радиосигнала.
Заслуживает внимания графический метод, позволяющий
упростить выполнение обратного преобразования Лапласа для
изображающей функции с простыми полюсами [35]. При этом ко-
эффициенты
)(Q/)(
ii
ppF
′
формулы разложения (7.7) определяются
как отношение произведения разностных векторов между i-м по-
люсом и нулями изображающей функции
)( pf к произведению
разностных векторов между i-м полюсом и другими полюсами
этой функции. Здесь предварительно на комплексной плоскости 
                                               1                                                    где ВСПП uвых (t ) определена первым членом, а ССПП – uсв (t ) –
                                   hi (t ) =       e −α t 1(t ) sin ω 0t .              (11.30)
                            ω0 L                                                                    вторым членом в квадратной скобке полученной формулы. Веще-
      Выражения (11.29) и (11.30) совпадают с формулами (8.30)                                      ственную реакцию интегрирующей цепи на радиоскачок опреде-
и (8.31) для импульсной и переходной характеристик, полученных                                      ляем из (11.31) в соответствии с формулой перехода (11.12) как
ранее применением формулы обращения в виде (7.7), но здесь ре-                                                                  ⎡                            − sinψ + ω нτ cosψ −1 / τ ⎤
шения получены сразу; для их нахождения фактически не потре-                                        uвых (t ) = Im{uвых (t )}= A⎢ K ( jω н ) sin(ω н + β ) +                   e       ⎥1(t ),
                                                                                                                                ⎣⎢                                1 + ω н2τ 2          ⎦⎥
бовались промежуточные преобразования.
                                                                                                    β = ψ + arg K ( jω н ) .                                                      (11.31а)
     Пример 4. Определить реакцию интегрирующей цепи на
радиоскачок uвх (t ) = A sin(ω нt +ψ ) 1(t) .                                                             11.4. Обоснование метода, упрощающего обратное
      Решение. Данная задача уже решалась в примере 4, гл. 8                                           преобразование Лапласа при исследовании динамических
приложением формулы обращения (7.7). Получим решение при-                                                     колебательных режимов электронных схем
менением формулы перехода (11.12), упрощающей ОПЛ.
      Изображающая функция для реакции цепи на радиоскачок                                                Операционное исчисление является основным инструмен-
дана соотношением:                                                                                  том при исследовании динамических режимов радиоэлектронных
                           A p sin ψ + ω н cosψ    1                                                схем.
               uвых ( p) =                             , (8.20)                                           Однако, как уже отмечалось, существенным препятствием
                           τ        2
                                   p + ωн 2     p + 1τ
                                                                                                    при практическом использовании операционного метода для ис-
для которой «вынужденные» полюсы p1,2 = ± jω н , «свободный»                                        следования переходных процессов является трудоемкость выпол-
                                                              A                                     нения ОПЛ, особенно возрастающая при рассмотрении важного
полюс p3 = −1 τ .Числитель ИФ F ( p) =                            ( p sin ψ + ω н cosψ ) , знаме-   для радиоэлектроники класса колебательных процессов и систем.
                                                             τ
                                                                                                          Одним из важных методов, упрощающих нахождение реше-
натель Q(p) = (p 2 + ω н2 )(p + 1/τ ) . Тогда в соответствии с формулой
                                                                                                    ния в этом случае, нашедшим широкое приложение при исследо-
перехода (11.12) имеем V1 ( p ) = p + 1 / τ , W3 ( p ) = p 2 + ω н2 .                               вании радиоэлектронных схем, является метод медленно меняю-
     Подставляя указанные функции в формулу перехода (11.12),                                       щихся амплитуд, разработанный С.И. Евтяновым [2]. Серьезным
получим                                                                                             недостатком этого метода является приближенность получаемых
                                                                                                    решений, ограничивающих возможность применения данного ме-
               A ⎡ jω н sinψ + ω н cosψ jω н t    − 1 / τ sinψ + ω н cosψ −1/ τ ⎤
 uвых (t ) =      ⎢                      e     +j                          e    ⎥1(t )              тода для исследования современных РЭУ, использующих микро-
               τ ⎢⎣ ω н ( jω н + 1 / τ )                (−1 / τ ) 2 + ω н2      ⎥⎦                  структуру радиосигнала.
или после тривиальных преобразований                                                                      Заслуживает внимания графический метод, позволяющий
                                                                                                    упростить выполнение обратного преобразования Лапласа для
                    ⎡     1      (ω t +ψ )    − sinψ + ω нτ cosψ −1 / τ ⎤
       uвых (t ) = A⎢           e н        +j                    e      ⎥1(t ) =                    изображающей функции с простыми полюсами [35]. При этом ко-
                    ⎣⎢1 + jω нτ                    1 + (ω нτ ) 2        ⎦⎥                          эффициенты F ( pi ) / Q′( pi ) формулы разложения (7.7) определяются
                 ⎡             (ω t +ψ )      − sinψ + ω нτ cosψ −1 / τ ⎤                           как отношение произведения разностных векторов между i-м по-
               = ⎢ AK ( jω н )e н        + jA                    e      ⎥1(t ) =                    люсом и нулями изображающей функции f ( p ) к произведению
                 ⎣⎢                                1 + (ω нτ ) 2        ⎦⎥
                                                                                                    разностных векторов между i-м полюсом и другими полюсами
               = uвын (t ) + uсв (t ),                                                  (11.31)
                                                                                                    этой функции. Здесь предварительно на комплексной плоскости
                                                   97                                                                                          98

Страницы