ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
109
Мгновенная частота комплексного сигнала определяется из (12.8)
как
)(
)()()()(
)()(
)()()()()(
)(
2
22
tA
tftftftf
tftf
tftftftf
dt
tdФ
t
∧∧
∧
∧∧
′
−
′
=
+
′
−
′
==
ω
. (12.9)
Проблема состоит в том, что необходимо ввести такую связь меж-
ду исходным
)(tf и сопряженным ему сигналом )}(Im{)(
.
tftf =
∧
,
чтобы определяемые согласно (12.7)–(12.9) информативные пара-
метры – амплитуда, фаза, частота – соответствовали физическому
адеквату этих параметров в исходном радиосигнале
)(tf .
12.2. Аналитический сигнал
Доминантное место в современной радиоэлектронике завое-
вал комплексный аналитический сигнал, введенный Д. Габором в
1946 г. [13]. Для аналитического сигнала
)()()(
.
tfjtftf
н
a
∧
+= (12.10)
функция
)(tf
н
∧
, сопряженная исходному сигналу, определена
преобразованием Гильберта (ПГ):
∫
∞
∞−
∧
−
−==
τ
τ
τ
π
d
t
f
pvtfHtf
н
)(
..
1
)}({)(
, (12.11)
где H – оператор Гильберта,
.. pv – символ главного, по Коши, зна-
чения интеграла. В соответствии с (12.7) и (12.8) огибающая и фа-
за из АС определены
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=+=
∧∧
)(/)()( ,)()()( tftfarctgtФtftftA
нaнa
22
. (12.12)
Тогда (12.10) можно переписать в форме
)(exp)()(
.
tjФtAtf
aaa
= . (12.13)
При этом исходный сигнал находим, выполняя к (12.10) операцию
)}(Re{)(
.
tftf
a
=
. (12.14)
110
Возьмем часто встречающийся в приложениях усеченный радио-
сигнал (радиоскачок)
)cos()()(
000
1
ψ
ω
+
=
ttAtf
y
. (12.15)
Амплитудная модуляция не должна нарушать фазу колеба-
тельного сомножителя (принцип инвариантности фазы). Тогда в
соответствии с принципом инвариантности амплитуды и фазы КС
следует определить как
)()()(exp)()(
.
tfjtftjtAtf
yyy
∧
+=+=
000
1
ψω
, (12.16)
для которого, согласно (12.7) и (12.8), для огибающей и фазы име-
ем соотношения
)()()( tAtftA
y
1
0
==
и
00
ψ
ω
+
=
ttФ )( . (12.17)
Однако найденный для
)(tf
y
аналитический сигнал приводит к
другим результатам. Действительно, применив к
)(tf
y
ПГ, полу-
чим [36]:
(12.18) )},cos()(
)sin()(){sin()(
000
000000
1
1
ψωω
π
ψωω
π
ψω
+−
−+++=
∧
ttci
ttsitAtf
уа
где
)( tsi
0
ω
и )( tci
0
ω
– интегральный синус и интегральный коси-
нус.
Введем комплексный сопряженный сигнал
)(tf
ay
∧
, для ко-
торого
)}(Im{)(
а
tftf
ayу
∧
=
. Из (12.18) находим
)()()()()(exp)(
....
tNtfttrtjAtf
уН
sici
а
у 00000
1
1
1
ωω
π
ψω
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
++=
, (12.19)
где
)( tr
sici
0
ω
– радиус-вектор, описывающий на комплексной
плоскости sici-спираль:
)()()(
000
.
tjcitsitr
sici
ωωω
+= ,
)(exp)()(
1
1)(
000
.
0
.
tjtNtrtN
уН
sici
уН
ωξωω
π
ω
=+= .
Мгновенная частота комплексного сигнала определяется из (12.8) Возьмем часто встречающийся в приложениях усеченный радио-
как сигнал (радиоскачок)
∧ ∧ ∧ ∧ f y (t ) = A01(t ) cos(ω 0t +ψ 0 ) . (12.15)
dФ(t ) f ′(t ) f (t ) − f ′(t ) f (t ) f ′(t ) f (t ) − f ′(t ) f (t )
ω (t ) = = ∧
= . (12.9) Амплитудная модуляция не должна нарушать фазу колеба-
dt
2 2 A2 (t )
f (t ) + f (t ) тельного сомножителя (принцип инвариантности фазы). Тогда в
Проблема состоит в том, что необходимо ввести такую связь меж- соответствии с принципом инвариантности амплитуды и фазы КС
∧ . следует определить как
ду исходным f (t ) и сопряженным ему сигналом f (t ) = Im{ f (t )} , . ∧
чтобы определяемые согласно (12.7)–(12.9) информативные пара- f y (t ) = A01(t ) exp j (ω 0t +ψ 0 ) = f y (t ) + j f y (t ) , (12.16)
метры – амплитуда, фаза, частота – соответствовали физическому для которого, согласно (12.7) и (12.8), для огибающей и фазы име-
адеквату этих параметров в исходном радиосигнале f (t ) . ем соотношения
A(t ) = f y (t ) = A01(t ) и Ф(t ) = ω 0t +ψ 0 . (12.17)
12.2. Аналитический сигнал
Однако найденный для f y (t ) аналитический сигнал приводит к
Доминантное место в современной радиоэлектронике завое- другим результатам. Действительно, применив к f y (t ) ПГ, полу-
вал комплексный аналитический сигнал, введенный Д. Габором в
чим [36]:
1946 г. [13]. Для аналитического сигнала ∧ 1
. ∧ f а у (t ) = A0 {sin(ω 0t +ψ 0 ) + si (ω 0t ) sin(ω 0t +ψ 0 ) −
f a (t ) = f ( t ) + j f н (t ) (12.10) π
∧ 1
функция f н ( t ) , сопряженная исходному сигналу, определена − ci(ω 0t ) cos(ω 0t +ψ 0 )}, (12.18)
π
преобразованием Гильберта (ПГ): где si (ω 0t ) и ci(ω 0t ) – интегральный синус и интегральный коси-
∧ ∞
1 f (τ ) нус.
f н (t ) = H { f (t )} = − v. p. ∫ dτ , (12.11)
π −∞
τ −t ∧
Введем комплексный сопряженный сигнал f ay (t ) , для ко-
где H – оператор Гильберта, v.p. – символ главного, по Коши, зна- ∧
чения интеграла. В соответствии с (12.7) и (12.8) огибающая и фа- торого f а у (t ) = Im{ f ay (t )} . Из (12.18) находим
за из АС определены .
⎡ 1 . ⎤ . .
∧
⎡∧ ⎤ f а (t ) = A0 exp j (ω 0t +ψ 0 ) ⎢1 + r sici (ω 0t )⎥1(t ) = f у (t ) N Н у (ω 0t ) , (12.19)
Aa (t ) = f (t ) + f н (t ) , Фa (t ) = arctg ⎢ f н (t ) / f (t )⎥ . ⎣ π
2 2
(12.12) ⎦
⎣ ⎦ где rsici (ω 0t ) – радиус-вектор, описывающий на комплексной
Тогда (12.10) можно переписать в форме
. плоскости sici-спираль:
f a (t ) = Aa (t ) exp jФa (t ) .
(12.13) .
r sici (ω 0t ) = si(ω 0t ) + jci (ω 0t ) ,
При этом исходный сигнал находим, выполняя к (12.10) операцию
. 1.
.
f (t ) = Re{ f a (t )} . (12.14) N Н у (ω 0t ) = 1 + r sici (ω0t ) = N Н у (ω0t ) exp jξ (ω0t ) .
π
109 110
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 53
- 54
- 55
- 56
- 57
- …
- следующая ›
- последняя »
