ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
117
Из соотношений (12.30) и (12.31)
[
]
)(2)()()(
21
tntftfjtf
S
=−−=
. (12.32)
Воспользовавшись выражением (12.30), введем аналогично (12.27)
комплексный сигнал
)(exp)()(2)(2)(
*
2
1
tjФtjAtftftf
S
S
S
−===
, (12.33)
для которого условие (12.24) согласно (12.30) приводит к выраже-
ниям
)(Re)(Re)(Re)( tftftftf
SSSS 21
22
=== , (12.34)
или, учитывая (12.31), получим
[
]
[
]
)(Re)(Re)(
*
tfjtfjtf
S 21
22
=−= . (12.35)
Из сопоставления эквивалентных соотношений (12.28) и
(12.29) с учетом (12.27) по аналогии можем записать:
[
]
[
]
)](Im[)](Im[)(Im)(Re)( tftftfjjtfjtf
S
==−=−=
111
222
, (12.36)
[
]
[
]
)(2)(Im2)(Im2)(Re2)(
*
2
*
2
*
2
tntftfjjtfjtf
S
==−=−=
. (12.37)
Обычно для КС в формуле (12.27) символические операции
(12.28) и (12.36) пишутся сразу. Здесь выполнен последователь-
ный подход для представлений колебательного процесса в форме
(12.26) и (12.30) исходя из удовлетворения основного исходного
условия (12.24) при решении проблемы АФЧ: вещественная часть
КС (в том числе и комплексного АС) описывает заданный физиче-
ский колебательный процесс
)(tf или )(tf
S
.
Спектр исходного сигнала
)(tf
запишем исходя из (12.26),
воспользовавшись теоремой о спектре суммы:
),()()(
ωωω
21
SSS
f
+=
(12.38)
где
{}
,)(
2
1
)()(
)]([
11
∫
∞
∞−
−−
== dtetAtfFS
tФtj
ω
ω
(12.39)
{}
.)(
2
1
)()(
)]([
22
∫
∞
∞−
+−
== dtetAtfFS
tФtj
ω
ω
(12.40)
118
Из соотношения (12.39)
.)(
2
1
)(
)]([
1
∫
∞
∞−
+
=− dtetAS
tФtj
ω
ω
(12.41)
Сопоставляя (12.40) и (12.41), находим
).()(
*
12
ωω
−= SS
(12.42)
Более наглядно последнее соотношение может быть получено из
(12.39) и (12.40) представлением спектров
)(
1
ω
S
и )(
2
ω
S
в форме
),()()();()()(
222111
ωωωωωω
jNMSjNMS −=−=
(12.43)
где
[] []
,)(sin)(
2
1
)(,)(cos)(
2
1
)(
11
dttФttANdttФttAM −=−=
∫∫
∞
∞−
∞
∞−
ωωωω
(12.44)
[] []
,)(sin)(
2
1
)(,)(cos)(
2
1
)(
22
dttФttANdttФttAM +=+=
∫∫
∞
∞−
∞
∞−
ωωωω
(12.45)
откуда получаем
).()(),()(
2121
ω
ω
ω
ω
NNMM
=
−
−
=
−
(12.46)
Тогда из выражений (12.46), воспользовавшись формулами
(12.43), получим (12.42).
Заметим, что для спектра
)(tf , рассматривая его как част-
ный случай комплексно-сопряженных сигналов
)(2
1
tf
или )(2
2
tf
,
когда мнимая часть их
0)(
=
tn , соотношение (12.42) для спектров
этих сигналов переходит в известное соотношение
)()(
*
ωω
−=
ff
SS
. (12.47)
Это широко используемое соотношение, внешне по форме
подобное выражению (12.42), является лишь частным случаем по-
следнего при
0
=
n . Соотношение (12.42) дает связь между спек-
трами существенно более широкого класса комплексных функций
)()(
1
*
2
tft
f
= , описывающих сигнал с произвольной амплитудно-
фазовой модуляцией (формула (12.26)). Единственным требовани-
ем к этим функциям времени является их взаимная комплексная
сопряженность.
Представление колебательных процессов суммой комплекс-
но-сопряженных функций в форме (12.26) с формальным введени-
Из соотношений (12.30) и (12.31) Из соотношения (12.39)
[ ]
f S (t ) = − j f1 (t ) − f 2 (t ) = 2n(t ) . (12.32) 1
∞
∫ A(t )e
j[ω t +Ф (t )]
S1 (−ω ) = dt. (12.41)
Воспользовавшись выражением (12.30), введем аналогично (12.27) 2
комплексный сигнал −∞
Сопоставляя (12.40) и (12.41), находим
f S (t ) = 2 f1S (t ) = 2 f 2*S (t ) = − jA(t ) exp jФ(t ) , (12.33)
S 2 (ω ) = S1* (−ω ). (12.42)
для которого условие (12.24) согласно (12.30) приводит к выраже-
ниям Более наглядно последнее соотношение может быть получено из
f S (t ) = Re f S (t ) = 2 Re f1S (t ) = 2 Re f 2 S (t ) , (12.34) (12.39) и (12.40) представлением спектров S1 (ω ) и S 2 (ω ) в форме
или, учитывая (12.31), получим S1 (ω ) = M 1 (ω ) − jN1 (ω ); S 2 (ω ) = M 2 (ω ) − jN 2 (ω ), (12.43)
где
[ ]
f S (t ) = 2 Re − jf1 (t ) = 2 Re jf 2 (t ) . [ *
] (12.35) 1
∞
1
∞
A(t ) cos[ω t − Ф(t )]dt, N1 (ω ) = ∫ A(t ) sin[ω t − Ф(t )]dt , (12.44)
2 −∫∞
M1 (ω ) =
Из сопоставления эквивалентных соотношений (12.28) и 2 −∞
(12.29) с учетом (12.27) по аналогии можем записать: 1
∞
1
∞
[ ] [ ]
f S (t ) = 2 Re − jf1 (t ) = 2 Im j − jf1 (t ) = 2 Im[ f1 (t )] = Im[ f (t )] , (12.36) M 2 (ω ) = ∫
2 −∞
A(t ) cos[ω t + Ф(t )]dt , N 2 (ω ) = ∫ A(t ) sin[ω t + Ф(t )]dt , (12.45)
2 −∞
откуда получаем
[ ] [ ]
f S (t ) = 2 Re − jf 2* (t ) = 2 Im j − jf 2* (t ) = 2 Im f 2* (t ) = 2n(t ) .
(12.37) M 1 ( −ω ) = M 2 (ω ), − N1 ( −ω ) = N 2 (ω ).
(12.46)
Обычно для КС в формуле (12.27) символические операции Тогда из выражений (12.46), воспользовавшись формулами
(12.28) и (12.36) пишутся сразу. Здесь выполнен последователь- (12.43), получим (12.42).
ный подход для представлений колебательного процесса в форме Заметим, что для спектра f (t ) , рассматривая его как част-
(12.26) и (12.30) исходя из удовлетворения основного исходного ный случай комплексно-сопряженных сигналов 2 f1 (t ) или 2 f 2 (t ) ,
условия (12.24) при решении проблемы АФЧ: вещественная часть
КС (в том числе и комплексного АС) описывает заданный физиче- когда мнимая часть их n(t ) = 0 , соотношение (12.42) для спектров
ский колебательный процесс f (t ) или f S (t ) . этих сигналов переходит в известное соотношение
Спектр исходного сигнала f (t ) запишем исходя из (12.26), S f (ω ) = S *f (−ω ) . (12.47)
воспользовавшись теоремой о спектре суммы: Это широко используемое соотношение, внешне по форме
S f (ω ) = S1 (ω ) + S 2 (ω ), (12.38) подобное выражению (12.42), является лишь частным случаем по-
следнего при n = 0 . Соотношение (12.42) дает связь между спек-
где трами существенно более широкого класса комплексных функций
∞
{ }
S1 (ω ) = F f1 (t ) =
1
2 ∫ A(t )e
− j[ω t −Ф (t )]
dt , (12.39)
*
f 2 (t ) = f1 (t ) , описывающих сигнал с произвольной амплитудно-
−∞ фазовой модуляцией (формула (12.26)). Единственным требовани-
∞ ем к этим функциям времени является их взаимная комплексная
{
S 2 (ω ) = F f 2 (t ) = } 1
2 ∫ A(t )e
− j[ω t +Ф (t )]
dt. (12.40) сопряженность.
−∞ Представление колебательных процессов суммой комплекс-
но-сопряженных функций в форме (12.26) с формальным введени-
117 118
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 57
- 58
- 59
- 60
- 61
- …
- следующая ›
- последняя »
