ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
119
ем отрицательных частот является достаточно универсальным и
его можно осуществить и для колебательных сигналов, описывае-
мых более сложными функциями, чем рассмотренные выше. При
этом еще более важным становится решение проблемы математи-
ческого определения огибающей и фазы сигнала, адекватного их
физическому содержанию.
Из формулы (12.25), учитывая формулы (12.38) и (12.42),
получаем
(
)()()()
(
)
[
]
(
)
() ( )
[]
()
(12.48) .12
1212
*
21
21
ωωω
ωωωωωω
⋅−+=
=⋅+=⋅⋅=
SS
SSSS
fa
Отсюда следует, что условие усеченности спектра АС при-
водит к замещению отсекаемой части спектра составляющей сиг-
нала
()
tf
1
, которая «затекает» из области положительных частот в
область отрицательных комплексно сопряженной с ней частью
спектра сигнала
(
)
tf
2
, «затекающей» из отрицательной области
частот в область положительных частот. Это вызывает ошибки в
определении огибающей
()
tA
∆
и фазы
()
tФ∆ [20, 36, 41].
Найдем ошибку в определении спектра АС относительно спектра
КС для простого примера усеченной косинусоиды-«радиоскачка»
(
)()()
ttAtf
y 00
cos1
ω
⋅⋅
=
.
Спектр такого сигнала
() ()
{}
()()
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
+
−
==
00
0
11
2/
ωωωω
ω
jj
AtfFS
gf
(
)()
ωω
21
SS
+=
. (12.49)
Здесь для упрощения записи опущены сингулярные состав-
ляющие спектра вида
(
)
00
ω
ω
πδ
∓A , обусловленные стационарной
составляющей сигнала
()
tA
00
cos2/
ω
⋅ , для которой АС и КС дают
один и тот же спектр
(
)
00
2
ω
ω
π
−A , не влияющий на сопоставление
спектров этих сигналов, проводимое ниже. При строгом рассмот-
рении спектра радиоскачок должен быть представлен в виде
(10.2.2).
() () ( ) ()() ()
t
A
tt
A
ttAtf
0
0
0
0
00
cos
2
cossgn
2
cos1
ωωω
+⋅⋅== .
120
Спектр непрерывной составляющей сигнала часто опускают
[33]. Во многих случаях при рассмотрении сигналов это не отра-
жается на конечном результате. Спектр АС в соответствии с соот-
ношениями (12.25), (12.48) и (12.49) запишем в виде
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
()
()
()
()
(12.50) .
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
+
−
=
=+=
ω
ωω
ω
ωω
ωωωωω
1
1
1
1
1212
00
0
21
jj
A
SSS
a
Комплексный сигнал для радиоскачка, согласно выражени-
ям (12.26) и (12.27), запишем в форме
(
)
(
)
(
)
tjtAtftf
yy 001
exp12
ω
==
, (12.51).
соответственно спектр КС –
(
)
(
)
{
}
(
)
{
}
(
)
ωω
11
22 StfFtfFS
yyy
===
. (12.52).
Тогда зависимость разности спектров АС и КС от частоты опреде-
ляется соотношением
() () ()
()
0
0
1
ωω
ωωω
+
=−=∆
j
ASSS
ya
. (12.53)
Таким образом, если исходить из сопоставления спектраль-
ного представления АС и КС, принимая КС за основу, видим: чем
меньше
0
ω
(т. е. чем более широкополосный сигнал), тем меньше
точность определения параметров АФЧ колебательного процесса
на основе использования АС. Иными словами, АС может рассмат-
риваться лишь как одна из асимптотических моделей представле-
ния реального физического колебательного процесса, обеспечи-
вающих однозначное определение важных информационных пара-
метров радиосигнала – амплитуды, фазы, частоты. Корректность
определения
этих параметров зависит от степени взаимного запол-
зания спектров сигналов
(
)
tf
1
и
(
)
tf
2
в смежные области, т.е. от
степени широкополосности исходного физического сигнала
()
tf ,
при этом
(
)
(
)
(
)
tftftf
21
+= . Здесь в качестве примера найдена ошиб-
ка
(
)
ω
S
∆
для спектра радиоскачка. Однако полученные выводы
относятся к любым колебательным процессам, так как, в принци-
пе, взаимное «заползание» спектров комплексно-сопряженных со-
ставляющих этих процессов в смежные области существует для
ем отрицательных частот является достаточно универсальным и Спектр непрерывной составляющей сигнала часто опускают
его можно осуществить и для колебательных сигналов, описывае- [33]. Во многих случаях при рассмотрении сигналов это не отра-
мых более сложными функциями, чем рассмотренные выше. При жается на конечном результате. Спектр АС в соответствии с соот-
этом еще более важным становится решение проблемы математи- ношениями (12.25), (12.48) и (12.49) запишем в виде
ческого определения огибающей и фазы сигнала, адекватного их S a (ω ) = 2S1 (ω )1(ω ) + 2S 2 (ω )1(ω ) =
физическому содержанию.
⎡ 1 1 ⎤
Из формулы (12.25), учитывая формулы (12.38) и (12.42), = A0 ⎢ 1(ω ) + 1(ω )⎥ . (12.50)
получаем ⎣ j (ω − ω 0 ) j (ω + ω 0 ) ⎦
[ ]
S a (ω ) = 2 ⋅ S f (ω ) ⋅ 1(ω ) = 2 S1 (ω ) + S 2 (ω ) ⋅ 1(ω ) = Комплексный сигнал для радиоскачка, согласно выражени-
[
= 2 S1 (ω ) + S 2* (− ω )]⋅1(ω ). (12.48)
ям (12.26) и (12.27), запишем в форме
f y (t ) = 2 f y1 (t ) = A01(t ) exp jω 0t , (12.51).
Отсюда следует, что условие усеченности спектра АС при- соответственно спектр КС –
S y (ω ) = F {f y (t )}= 2 F {f y1 (t )}= 2S1 (ω ) .
водит к замещению отсекаемой части спектра составляющей сиг-
(12.52).
нала f1(t ) , которая «затекает» из области положительных частот в
Тогда зависимость разности спектров АС и КС от частоты опреде-
область отрицательных комплексно сопряженной с ней частью
ляется соотношением
спектра сигнала f 2 (t ) , «затекающей» из отрицательной области
1
∆S (ω ) = S a (ω ) − S y (ω ) = A0 . (12.53)
частот в область положительных частот. Это вызывает ошибки в j (ω + ω 0 )
определении огибающей ∆A(t ) и фазы ∆Ф(t ) [20, 36, 41].
Таким образом, если исходить из сопоставления спектраль-
Найдем ошибку в определении спектра АС относительно спектра
ного представления АС и КС, принимая КС за основу, видим: чем
КС для простого примера усеченной косинусоиды-«радиоскачка»
меньше ω 0 (т. е. чем более широкополосный сигнал), тем меньше
f y (t ) = A0 ⋅1(t ) ⋅ cos(ω 0t ) .
точность определения параметров АФЧ колебательного процесса
Спектр такого сигнала
на основе использования АС. Иными словами, АС может рассмат-
⎡ ⎤
{ }
S f (ω ) = F f g (t ) = A0 / 2⎢
1
+
1
⎥= риваться лишь как одна из асимптотических моделей представле-
⎣ j (ω − ω 0 ) j (ω + ω 0 ) ⎦ ния реального физического колебательного процесса, обеспечи-
= S1 (ω ) + S 2 (ω ) . (12.49) вающих однозначное определение важных информационных пара-
Здесь для упрощения записи опущены сингулярные состав- метров радиосигнала – амплитуды, фазы, частоты. Корректность
ляющие спектра вида A0πδ (ω ∓ ω 0 ) , обусловленные стационарной определения этих параметров зависит от степени взаимного запол-
составляющей сигнала A0 / 2 ⋅ cos(ω 0t ) , для которой АС и КС дают зания спектров сигналов f1(t ) и f 2 (t ) в смежные области, т.е. от
один и тот же спектр A0 2π (ω − ω0 ) , не влияющий на сопоставление степени широкополосности исходного физического сигнала f (t ) ,
спектров этих сигналов, проводимое ниже. При строгом рассмот- при этом f (t ) = f1 (t ) + f 2 (t ) . Здесь в качестве примера найдена ошиб-
рении спектра радиоскачок должен быть представлен в виде ка ∆S (ω ) для спектра радиоскачка. Однако полученные выводы
(10.2.2). относятся к любым колебательным процессам, так как, в принци-
A A
f (t ) = A01(t )cos(ω 0t ) = 0 ⋅ (sgn t ) ⋅ cos(ω 0t ) + 0 cos(ω 0t ) . пе, взаимное «заползание» спектров комплексно-сопряженных со-
2 2 ставляющих этих процессов в смежные области существует для
119 120
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 58
- 59
- 60
- 61
- 62
- …
- следующая ›
- последняя »
