Применение метода, упрощающего обратное преобразование Лапласа при исследовании динамики колебательных систем. Золотарев И.Д. - 62 стр.

S f (ω ) = S А (ω − ω 0 ) , где ωo <> 0. Для АС смещение спектра может                                   Очевидно, что для секулярного сигнала имеем единствен-
                                                                                                   ную ИФ данного вида и, соответственно, единственный математи-
производиться только в область положительных частот, т.е. ω>0.                                     ческий спектр, состоящий из двух областей для положительных и
      Положение 5-е следует из того, что реальные сигналы фи-                                      отрицательный частот. При ψs(t)=0 имеем fs(t)=Fs(t). В этом слу-
нитны во времени, и поэтому определение АФЧ радиосигнала
                                                                                                   чае у ИФ один вещественный полюс ps=αs, и приведенные форму-
должно обеспечиваться на локальном интервале времени. Локаль-
                                                                                                   лы для изображения и спектра сигнала вырождаются к виду
ность определения АФЧ обеспечивается решением ДУС.                                                                                                                       −m −1
      Аналитический сигнал, строго говоря, не удовлетворяет ни                                     f s ( p ) = As µ s !( p − ps ) − µ s −1 , S f (ω) = As ms!( − as + jω) s . Изображающая
одному из этих положений.                                                                          функция и спектр КС могут быть получены из ИФ и спектра оги-
      При исследовании и разработке систем важно получить не                                       бающей использованием теоремы смещения в пространстве изо-
только верное описание АФЧ входного сигнала, но и верное ре-                                       бражений (теорема о транспозиции спектра). При этом в простран-
шение дифференциального уравнения системы, что обеспечивает                                        стве оригиналов огибающую F(t) умножаем на функцию exp[j(ωst
оптимизацию динамического режима работы ее.
                                                                                                   + ψs)]. ИФ и спектр КС получаются также и из ИФ (спектра) ис-
      Рассмотрим предложеные в [5–7, 12] подход и метод, позво-
                                                                                                   ходного вещественного секулярного сигнала. Они имеют вид
ляющие решить данную проблему для общего случая радиоим-
пульсных сигналов произвольной формы, которые в аналитиче-                                                      f s ( p ) = L{ f s (t )} = As µ s !( p − ps ) − µ s −1 exp jψ s ,
ской записи часто можно представить линейной комбинацией се-                                                       S f (ω ) = As µ s ![−α s + j(ω − ω s )]− µ s −1 exp jψ s .
кулярных функций. Отдельный секулярный сигнал запишем в
                                                                                                         Отсюда строим КС в форме f s (t ) = As t µ s eα s t 1(t )exp j (ω s t + ψ s ) .
форме f s (t ) = As t µ s eα s t cos(ω s t + ψ s )1(t ) , µs – целое неотрицательное,
                                                                                                   Оба сомножителя КС exp(jψs(t)) и Fs(t) инвариантны. Каждый из
αs, ωs, ψs – любые величины, в том числе и нуль. Для секулярных                                    параметров сигнала имеет ясную физическую трактовку: смеще-
функций время входит вне знака косинусоидальной функции.
                                                                                                   ние полюса вдоль мнимой оси определяется частотой колеба-
Важно, что колебательные решения линейных ДУС получаем так-
                                                                                                   ний ωs, кратность полюса и смещение αs вдоль вещественной оси
же в форме секулярных функций. Здесь в соответствии с концеп-
цией, принятой для КС (фаза сигнала не зависит от огибающей),                                      – формой огибающей, множитель exp(jψs) – начальной фазой ко-
                                                                                                   лебаний. При µs = 1 и αs = 0 приходим к радиоскачку. Здесь отсут-
множитель Fs (t ) = As t µ s eα s t 1(t ) определяет огибающую, функция
                                                                                                   ствуют парадоксальные эффекты, связанные с асимптотикой АС.
ψs(t)= ωst + ψs – фазу сигнала. ИФ для данного сигнала                                             Единственность соответствия ИФ данному колебательному сигна-
                                           µs! ⎡     e jψ s           e − jψ s    ⎤                лу исключает произвол в выборе огибающей и фазы, обеспечивая
             f s ( p ) = L{ f (t )} = As      ⎢                 +                 ⎥,               адекватность физическому содержанию их.
                                                           µ
                                           2 ⎢⎣ ( p − ps ) s +1           *  µ +1
                                                                  ( p − ps ) s ⎥⎦
                                                                                                         Изображением секулярного вещественного сигнала является
где ps , p*s = αs ± jωs. В этом случае имеем кратные полюса ИФ.                                    дробно-рациональная функция, которую представим в форме
При µs=0 переходим к ИФ с простыми полюсами. Спектр исход-                                                            g(p)=
                                                                                                                              F(p)
                                                                                                                                   =
                                                                                                                                                      F(p)
                                                                                                                                                                                ,   (12.54)
ного сигнала получим заменой в ИФ p на jω. Тогда                                                                              Q(p) q/ 2
                                                                                                                                       ∏( [ )( )]
                                                                                                                                            p-pi p-p*i
                                                                                                                                                       ni
                                                                                                                                                              ∏ ( p-pi )
                                                                                                                                                               r
                                                                                                                                                                           ni
                               µs! ⎡               e jψ s                  e − jψ s           ⎤                                       i=1                    i=q+1
  S f (ω ) = F { f (t )} = As    ⎢                             +                              ⎥.
                              2 ⎣⎢ [ j (ω − ω s ) − α s ]µ s +1 [ j (ω + ω s ) − α s ]µ s +1 ⎦⎥    где q/2 – число пар комплексно-сопряжённых полюсов (КСП), r–q
                                                                                                   – число вещественных полюсов, r – общее число полюсов, ni –
                                                                                                   кратность i-го полюса.

                                                   123                                                                                       124