Применение метода, упрощающего обратное преобразование Лапласа при исследовании динамики колебательных систем. Золотарев И.Д. - 63 стр.

Тогда КС в пространстве оригиналов находим по формуле:                                                       Таким образом, проблема корректного определения АФЧ
                      q / 2 ni −1                      r   ni −1                                       через КС увязывается с существенно упрощающим методом ис-
         g (t ) = 2   ∑ ∑ Cist n − s −1e p t + ∑ ∑ Cist n − s −1e p t ,
                                    i        i                      i         i           (12.55)      следования динамики радиоэлектронных систем, которые работа-
                      i =1 s = 0                   i = q +1 s = 0                                      ют с колебательными сигналами. Проблема АФЧ решается без
где g (t ) = Re{g (t )} .                                                                              искусственного построения КС. Он определяется однозначно из
       Здесь в первой двойной сумме (ДВС) внешнее суммирова-                                           ИФ сигнала, которая, в частности, при исследовании систем явля-
ние осуществляется по одному из каждой пары КСП (для опреде-                                           ется отображением ДУС в пространство изображений. Предло-
лённости берём полюса в верхней полуплоскости комплексного                                             женный подход в решении проблемы АФЧ обеспечивает жесткую
переменного). Вторая ДВС соответствует r–q вещественным по-                                            привязку этих параметров к форме колебательного процесса.
люсам. Для вещественных коэффициентов Cis второй ДВС имеем
                                                                                                                12.5. Представление АС через КС для случая
формулу Cis = [ s! ( ni − s − 1)! ]−1 D sp {( p − pi ) ni g ( p )} p = pi , Dp – символ
                                                                                                               произвольной амплитудно-фазовой модуляции
дифференцирования по p. Для первой ДВС формулу для ком-
плексных коэффициентов Cis представим в виде                                                                 В известной литературе проводится сопоставление аналити-
                              ⎛ n + h − 1⎞                                                             ческого и комплексного сигналов для относительно простых ви-
                      (−1) h ⎜⎜ i
                      s                      ⎟⎟                                                        дов амплитудной модуляции (функция скачка, прямоугольный
                                      h                 1                 ⎡ F ( p) ⎤
          Cis =   ∑  ( ni − 1
                              ⎝
                              −  s )! ( s − h
                                              ⎠
                                              )! ( 2 j ω   )
                                                                   D s −h
                                                             ni + h p ⎢ V ( p ) ⎥
                                                                          ⎣        ⎦
                                                                                           , (12.56)   импульс). Однако на практике построения современных РЭУ мо-
                h =0                                     i                           p
                                                                                     i = p             гут иметь место сложные виды модуляции радиосигналов, когда
                                                                                                       одновременно имеем как амплитудную, так и фазовую модуля-
⎛ ni + h − 1⎞                                                                                          цию. Исходя из материалов п. 2.3. можно наметить новый путь
⎜⎜          ⎟⎟                –          биномиальные                       коэффициенты,              задачи сопоставления комплексного и аналитического сигналов,
 ⎝    h      ⎠
                                                                                                       охватывающий и такой, на первый взгляд сложный случай сигна-
V ( p) = Q( p)[(p − pi )( p − pi*)]−ni . Для часто встречающегося случая по-                           лов с произвольной амплитудно-фазовой модуляцией. Для реше-
люсов первой кратности (ni=1) формула обращения (12.55) пере-                                          ния этой задачи вернемся к соотношениям (12.26) и (12.42), опре-
ходит в простое соотношение (11.12), позволяющее выполнить                                             деляющих сигналы с амплитудно-фазовой модуляцией и связь
ОПЛ для колебательных процессов непосредственно зачастую без                                           между спектрами комплексно-сопряженных составляющих их:
громоздких преобразований.
      В формуле (12.55) первая двойная сумма определяет колеба-                                                          f (t ) = A(t ) cos Ф(t ) = f1 (t ) + f 2 (t ) ,
тельный процесс через КС. Это обеспечивает однозначное опре-                                                            f1 (t ) = A(t ) exp jФ(t ), f 2 (t ) = f1* (t ) ,
деление АФЧ колебательного процесса. Упрощение ОПЛ достига-
ется прежде всего на основе того, что вместо нахождения вычетов
                                                                                                       и если                        { }
                                                                                                                        S1 (ω ) = F f1 (t ) ,                        {      }
                                                                                                                                                      S 2 (ω ) = F f 2 (t ) ,
в каждом из пары КСП изображающей функции ищем вычет отно-                                             то имеем
сительного одного из них. В пространстве оригиналов это соот-                                                                       S 2 (ω ) = S1* (−ω ) .
ветствует замене каждой i-й действительной функции её ком-                                             При этом                     S f (ω ) = S1 (ω ) + S 2 (ω ) ,
плексным представлением. Кроме того, к упрощению при перехо-
де к оригиналу приводит отбрасывание в знаменателе ИФ квад-
ратного трехчлена, обуславливающего наличие тех КСП её, вычет
относительно одного из которых ищется.

                                                 125                                                                                         126