Кинематика и динамика твердого тела. Амелькин Н.И. - 28 стр.

где VΟ – скорость точки Ο в системе Ai1i2 i3 , а Λ        –
производная по времени от кватерниона Λ в этой же
системе:
                3
    Λ = λ0 + ∑ λ k ik .
                1
                    ~
   Выражение Λ Λ является вектором, т.к. в силу (2.19) и
очевидной перестановочности операций сопряжения и
дифференцирования имеем:
     ~~       ~         ~              ~
  (Λ Λ ) = (Λ Λ ) = −(Λ Λ ), ⇒ sqal (Λ Λ ) = 0.
Поэтому с учетом правил кватернионного умножения
векторов формула (2.20) записывается в виде
                      ~
V = VΟ + r = VΟ + 2(Λ Λ) × r = VΟ + ω × r ,           (2.21)
             ~
где ω = 2Λ Λ                                          (2.22)
– вектор угловой скорости твердого тела относительно
системы     Ai1i2 i3 , или системы Ο i1i2 i3 (в силу
коллинеарности указанных систем выражения (2.22),
вычисленные в этих системах, тождественно совпадают).
   Покажем, что вектор угловой скорости не зависит от
выбора базиса в теле. Для этого свяжем с телом другой базис
Ο ′Ε ′ с началом в точке Ο ′ и ортами e1′,e2′ ,e3′ . Пусть
кватернион C задает положение базиса Ο ′Ε ′ относительно
Ο ′Ε . Поскольку взаимная ориентация базисов Ο ′Ε ′ и Ο ′Ε
                                                          ∗
не изменяется с течением времени, то отображение C
кватерниона C на базис Ο ′Ι будет являться постоянным
                                ∗
кватернионом в базисе Ο ′Ι ( C = 0 ). Поэтому, записывая
кватернион Λ′ , задающий положение Ο ′Ε ′ относительно
Ο ′Ι , в виде Λ′ = Λ C ∗ , получаем
               ~                  ~   ~         ~
   ω ′ = 2 Λ ′ Λ ′ = 2 Λ C ∗ C ∗ Λ = 2Λ Λ = ω .

                             30