Кинематика и динамика твердого тела. Амелькин Н.И. - 30 стр.

обозначая через       ϕ       угол поворота тела вокруг этой оси,
получаем
          ϕ               ϕ
Λ = cos + ξ sin ,
          2                   2
      1           ϕ               ϕ
 Λ = ( − sin          + ξ sin )ϕ ; (ξ = 0),
      2           2               2
и в соответствии с формулой (2.22) вектор          ω   записывается в
                  ~
виде ω = 2Λ Λ = ξ ϕ , т.е. угловая скорость направлена по
оси поворота тела и по величине равна производной по
времени от угла поворота.
   Чтобы выяснить смысл вектора ω              в случае
произвольного движения твердого тела, рассмотрим два
бесконечно близких положения связанного с телом базиса
ΟΕ (t 0 ) и ΟΕ (t 0 + dt ) . В силу теоремы Эйлера базис
ΟΕ (t 0 + dt ) получается из базиса ΟΕ (t 0 ) бесконечно
малым поворотом вокруг некоторой оси e , проходящей
через точку Ο , на бесконечно малый угол α . Этот поворот
задается кватернионом
              α                   α
   δΛ = cos + e ⋅ sin                 ,
              2                   2
а для Λ (t ) имеем Λ (t ) = δΛ Λ (t 0 ) . Отсюда на основании
формулы (2.22) получаем для угловой скорости выражение
                          ~                    α   α         α
   ω = 2(δΛ) (δΛ ) = e ⋅α + e ⋅ sin (cos − e ⋅ sin ) .
                                               2   2         2
   Из этого выражения в силу бесконечной малости угла α
следует ω = e ⋅ α , т.е. угловая скорость направлена по оси
бесконечно малого поворота тела и по величине равна
производной по времени от угла бесконечно малого
поворота.
   Ось бесконечно малого поворота называется мгновенной
осью вращения тела. Скорости точек тела, находящихся на
                                          32