Кинематика и динамика твердого тела. Амелькин Н.И. - 44 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

46
O
VОбозначим через скорость той точки тела, которая в
данный момент совпадает с полюсом
Ο
. Тогда, используя
формулу Эйлера для распределения скоростей в твердом теле
,
i
r
Oi
VV
получаем ×+=
ω
i
V
Рис. 12
r
ρ
i
m
i
C
C
r
Α
i
Ο
),(
i
i
iiOCO
rrmVrm
×××⋅=
∑
+
ωΚ
m
C
(3.2)
где
– масса тела, а
r
– радиус-вектор центра масс C .
с т
zyx
ee
i
r
Если елом связать некоторый ортонормированный
базис
и рассматривать e
Ο
и
ω
как векторы-
столбцы с компонентами
и
iii
zyx ,,
zyx
ω
ω
ω
,,
п
, то
выражение под знаком суммы можно записать с помощью
матричных о ераций следующим образом
,)(
),(),()(
∑
∑
∑
⋅=⋅⋅−⋅⋅=
=
−
=××
i
Oiiiii
i
iiiiiii
i
ii
Jrrrrm
rrmrrmrrm
ωωΙ
ω
ω
ω
ΤΤ
(3.3)
где
– единичная матрица,
Ι
– знак транспонирования, а 
                                                      miVi
                               ri           ρi
                                                  C
                       Ο                rC
             Α

                     Рис. 12
     Обозначим через   VO           скорость той точки тела, которая в
данный момент совпадает с полюсом Ο . Тогда, используя
формулу Эйлера для распределения скоростей в твердом теле
Vi = VO + ω × ri , получаем
      Κ O = m ⋅ rC × VO + ∑ mi ri × (ω × ri ),                                  (3.2)
                                    i
где   – масса тела, а rC – радиус-вектор центра масс C .
      m
   Если с телом связать некоторый ортонормированный
базис Ο e x e y e z и рассматривать ri и ω как векторы-
столбцы с компонентами                       xi , y i , z i   и   ω x ,ω y ,ω z ,   то
выражение под знаком суммы можно записать с помощью
матричных операций следующим образом
∑ mi ri × (ω × ri ) = ∑ mi (ri , ri )ω − mi ri (ri ,ω ) =
 i                         i
             Τ                          Τ
                                                                                (3.3)
= ∑ mi (ri ⋅ ri ⋅ Ι − ri ⋅ ri ) ⋅ ω = J O ⋅ ω ,
      i
где   Ι   – единичная матрица, Τ – знак транспонирования, а




                                             46

Страницы