Кинематика и динамика твердого тела. Амелькин Н.И. - 46 стр.

точку Ο . Обозначая через e единичный                           вектор,
указывающий направление оси, получаем
   J Oe = ∑ mi (ri × e , ri × e ) =.e , ∑ mi ri × (e × ri )
                i                           i
Отсюда в силу (3.5) следует формула
   J Oe = e Τ ⋅ J O ⋅ e .                                     (3.6)
   Определим закон преобразования тензора инерции при
повороте базиса. Поворот от базиса ΟΕ к другому базису
ΟΕ ′ представляет собой ортогональное преобразование, при
котором каждый вектор ri преобразуется в вектор ri ′ по
формуле ri = S ⋅ ri ′ , где S – ортогональная матрица.
Подставляя эти выражения в (3.4), получаем
J O = ∑ mi (ri ′Τ S Τ ⋅ Sri ′⋅ Ι − Sri ′⋅ ri ′Τ S Τ ) = S ⋅ J O′ ⋅ S Τ
        i
Отсюда находим искомый закон преобразования тензора
инерции твердого тела при повороте базиса:
   J O′ = S Τ ⋅ J O ⋅ S .                           (3.7)
   Из полученного выражения следует, что при повороте
базиса формула преобразования тензора инерции совпадает с
формулой преобразования матрицы квадратичной формы
r Τ ⋅ JΟ ⋅ r .
             Поэтому на основе известного факта из курса
линейной алгебры о приводимости любой квадратичной
формы к диагональному виду заключаем, для любой точки
Ο твердого тела существует базис Ο e1e2 e3 , в котором
тензор инерции твердого тела имеет диагональный вид:
            Α       0   0
   JO = 0           Β   0 .                                        (3.8)
        0           0   C



                                  48