Кинематика и динамика твердого тела. Амелькин Н.И. - 5 стр.

  3. Кватернионное умножение не обладает свойством
коммутативности, т. е. Λ Μ ≡
                           / Μ Λ. Это обусловлено
некоммутативностью векторного произведения       λ × µ,
входящего в формулу (1.5) для произведения кватернионов.
Поэтому равенство Λ Μ = Μ Λ имеет место только в
том случае, когда векторные части сомножителей
коллинеарны, т. е. (λ × µ = 0).
   4. Скалярная часть произведения кватернионов не
изменяется при циклической перестановке сомножителей, т.
е.
   sqal(Λ Μ        Ν ) = sqal(Ν Λ Μ ).
   Свойство 2 устанавливается непосредственной проверкой
с использованием введенных аксиом сложения и умножения
кватернионов, а свойство 4 следует из того, что в силу
формулы (1.5) скалярная часть произведения двух
кватернионов не зависит от порядка сомножителей. Поэтому
получаем
   sqal[(Λ Μ ) Ν ] = sqal[Ν (Λ Μ )].
  По аналогии с комплексными числами для кватерниона
                                                        ~
Λ = λ0 + λ   определяется сопряженный кватернион       Λ
следующего вида:
   ~
   Λ = λ0 − λ .                                      (1.6)
  Нормой кватерниона   Λ   называется произведение этого
                                           ~
кватерниона на его сопряженное значение    Λ.   Поскольку
                                       ~
векторные части кватернионов Λ и Λ отличаются только
знаком, то в соответствии с правилами умножения для нормы
кватерниона Λ получается следующее выражение:
             ~                   3
   Λ = Λ Λ = λ 02 + (λ , λ ) = ∑ λ2k .               (1.7)
                                k =0


                            7