Кинематика и динамика твердого тела. Амелькин Н.И. - 6 стр.

  Таким образом, норма кватерниона является скаляром и
инвариантна по отношению к выбору базиса                    i1 , i2 , i3 ,   в то
время как компоненты                λ1 , λ 2 , λ 3       векторной части
кватерниона зависят от выбора базиса.
   Кватернион Λ называется нормированным, если                       Λ = 1.
   Правила вычисления сопряженного значения и нормы от
произведения двух кватернионов легко устанавливаются с
помощью формулы умножения (1.5). Так, для произведения
                    ~           ~
двух кватернионов   ΜΛ имеем
                        и
~ ~
Μ Λ = (µ 0 − µ ) (λ0 − λ ) =
                                                    ~
= λ0 µ 0 − (λ , µ ) − ( µλ0 + λµ 0 + λ × µ ) = (Λ Μ ) .
   Отсюда получаем, что сопряженное значение от
произведения двух кватернионов равно произведению их
сопряженных значений, взятых в обратном порядке:
       ~ ~ ~
  (Λ Μ ) = Μ Λ.                                    (1.8)
  Полученное соотношение позволяет в свою очередь найти
выражение для нормы произведения двух кватернионов:
                            ~           ~
   Λ Μ =Λ Μ Μ Λ= Λ                                       Μ ,                 (1.9)
т. е. норма произведения двух кватернионов равна
произведению норм сомножителей. Отсюда следует, что
произведение нормированных кватернионов есть также
нормированный кватернион.
   Методом индукции легко показать, что правила (1.8) и
(1.9) распространяются на случай произвольного числа
сомножителей, т. е.
              ~ ~        ~
   (Λ1 ... Λn ) = Λn ... Λ1 ,
   Λ 1 ...    Λ n = Λ 1 ⋅ ... ⋅ Λ n                  .



                                    8