Кинематика и динамика твердого тела. Амелькин Н.И. - 57 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

59
e
иПоложение оси задад м углами
θ
и
Ψ
(рис. 14), где
θ
– угол отклонения оси e
от вертикали (угол нутации), а
Ψ
– угол поворота вокруг вертикали (угол прецессии).
Рассмотрим случай, когда волчок начинает движение из
положения
, а ось неподвижна (e 0= ). Тогда
интегралы движения (3.23) запишутся в виде
0
θ
e
)0(
).cos(cossin
),cos(cos2)sin(
0
2
0
222
θθΗθΨΑ
θθθΨθΑ
−=
−=+
mgl
(3.23*)
Выразив из второго уравнения и подставив в первое,
получим уравнение движения по углу нутации:
Ψ
,0))(cos1()(cos
0
22
0
22
=−−−−+ uuuu
θβθα
(3.24)
где
θ
cos
=
u , ,
Η
Α
α
= .
2
2
Η
Α
β
mgl
=
Из этого уравнения следует, что движение может
происходить только для тех значений угла
θ
, которые
удовлетворяют неравенству
.0))(cos1()(cos
0
22
0
≤−−−− uuu
θβθ
(3.25)
Левая часть полученного неравенства представляет
собой многочлен третьей степени относительно
θ
,
–1 0 +1 u
Рис. 15
)(u
f
1
u
2
u
cos
=
u
  Положение оси e зададим углами θ и Ψ (рис. 14), где
θ – угол отклонения оси e от вертикали (угол нутации), а
Ψ – угол поворота вокруг вертикали (угол прецессии).
  Рассмотрим случай, когда волчок начинает движение из
положения θ 0 , а ось e неподвижна ( e (0) = 0 ). Тогда
интегралы движения (3.23) запишутся в виде
      Α (θ 2 +Ψ 2 sin 2 θ ) = 2mgl (cosθ 0 − cosθ ),
                                                          (3.23*)
      ΑΨ sin 2 θ = Η (cosθ 0 − cosθ ).
   Выразив Ψ из второго уравнения и подставив в первое,
получим уравнение движения по углу нутации:
α 2u 2 + (cosθ 0 − u) 2 − β (1 − u 2 )(cosθ 0 − u ) = 0, (3.24)
                        Α       2 Αmgl
где    u = cosθ , α =     , β =        .
                        Η         Η2
   Из этого уравнения следует, что движение может
происходить только для тех значений угла θ , которые
удовлетворяют неравенству
(cos θ 0 − u ) 2 − β (1 − u 2 )(cos θ 0 − u ) ≤ 0.        (3.25)


                                 f (u )



              –1             0     u1          u2    +1   u

                         Рис. 15

         Левая часть полученного неравенства представляет
собой многочлен третьей степени относительно         u = cosθ ,
                                 59

Страницы