Кинематика и динамика твердого тела. Амелькин Н.И. - 9 стр.

Λ1 = Λ1 (cosϕ1 + e sinϕ1 ), Λ2 = Λ2 (cosϕ 2 + e sinϕ 2 ),
то для произведения этих кватернионов получаем
Λ1 Λ2 = Λ1 ⋅ Λ2 ⋅ (cos(ϕ1 + ϕ2 ) + e ⋅ sin(ϕ1 + ϕ2 )) ,   (1.15)
т. е.. при умножении коллинеарных кватернионов аргументы
складываются, а модули перемножаются.
    Из (1.15) получаем для к-й степени кватерниона
Λ = Λ ⋅ (cosν + e ⋅ sinν ) следующую формулу:
              k
   Λk = Λ ⋅ (cos kν + e sin kν ),                         (1.16)
которая аналогична формуле Муавра для комплексных чисел.
   Последняя формула дает возможность легко находить
решения степенных кватернионных уравнений вида
   Χ k = Λ.                                               (1.17)
          Χ и Λ в тригонометрической форме
Представляя
Χ = Χ ⋅ (cos χ + ε sin χ ), Λ = Λ ⋅ (cosν + e sinν ),
получаем в качестве (1.17) следующее уравнение:
       k
   Χ ⋅ (cos κχ + ε sin κχ ) = Λ ⋅ (cosν + e sinν ).
Отсюда следует
              1
                              ν + 2π ⋅ i
   Χ = Λ , ε = e, χ =
              k                          ,
                                  k                       (1.18)
   i = 0 ,1,… , k − 1.
   Полученные соотношения определяют k разных решений
уравнения (1.17) в том случае, когда единичный вектор e ,
входящий в представление кватерниона            Λ,   определен
однозначно. Если же векторная часть Λ равна нулю, то e –
любой единичный вектор. В этом случае (1.18) могут
определять бесконечное множество решений, если среди
решений (1.18) найдутся такие значения χ , для которых
sin χ ≠ 0.
                               11